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Potenzmenge

Eine Menge kann als eine Algebra betrachtet werden, die keine nichttrivialen Operationen oder Definitionsgleichungen hat. Aus dieser Perspektive verallgemeinert sich die Idee der Potenzmenge von X als die Menge der Teilmengen von X natürlich auf die Unteralgebren einer algebraischen Struktur oder Algebra.

Die Potenzmenge einer Menge ist, wenn sie durch Inklusion geordnet ist, immer eine vollständige atomare Boolesche Algebra, und jede vollständige atomare Boolesche Algebra entsteht als das Gitter aller Teilmengen einer Menge. Die Verallgemeinerung auf beliebige Algebren ist, dass die Menge der Unteralgebren einer Algebra, wiederum geordnet durch Inklusion, immer ein algebraisches Gitter ist, und jedes algebraische Gitter ergibt sich als das Gitter von Unteralgebren irgendeiner Algebra. In dieser Hinsicht verhalten sich Unteralgebren also analog zu Teilmengen.

Es gibt jedoch zwei wichtige Eigenschaften von Teilmengen, die sich nicht auf Unteralgebren im Allgemeinen übertragen lassen. Erstens: Obwohl die Teilmengen einer Menge eine Menge (und auch ein Gitter) bilden, kann es in manchen Klassen nicht möglich sein, die Unteralgebren einer Algebra als selbst eine Algebra in dieser Klasse zu organisieren, obwohl sie immer als Gitter organisiert werden können. Zweitens: Während die Teilmengen einer Menge in Bijektion mit den Funktionen von dieser Menge zur Menge {0,1} = 2 stehen, gibt es keine Garantie, dass eine Klasse von Algebren eine Algebra enthält, die auf diese Weise die Rolle von 2 spielen kann.

Bestimmte Klassen von Algebren genießen beide dieser Eigenschaften. Die erste Eigenschaft ist häufiger, der Fall, beide zu haben, ist relativ selten. Eine Klasse, die beides hat, ist die der Multigraphen. Gegeben zwei Multigraphen G und H, ein Homomorphismus h: G → H aus zwei Funktionen, von denen die eine Vertices auf Vertices und die andere Kanten auf Kanten abbildet. Die Menge HG der Homomorphismen von G nach H kann dann als der Graph organisiert werden, dessen Scheitelpunkte und Kanten jeweils die in dieser Menge vorkommenden Scheitelpunkt- und Kantenfunktionen sind. Außerdem sind die Untergraphen eines Multigraphen G in Bijektion mit den Graphenhomomomorphismen von G zu dem Multigraphen Ω, der als vollständiger gerichteter Graph auf zwei Scheitelpunkten (also vier Kanten, nämlich zwei Selbstschleifen und zwei weitere Kanten, die einen Zyklus bilden) definiert ist, ergänzt um eine fünfte Kante, nämlich eine zweite Selbstschleife an einem der Scheitelpunkte. Wir können also die Untergraphen von G als den Multigraphen ΩG organisieren, der das Potenzobjekt von G genannt wird.

Das Besondere an einem Multigraphen als Algebra ist, dass seine Operationen unär sind. Ein Multigraph hat zwei Arten von Elementen, die eine Menge V von Vertices und E von Edges bilden, und hat zwei unäre Operationen s,t: E → V, die die Quell- (Start-) und Ziel- (End-) Scheitelpunkte jeder Kante angeben. Eine Algebra, deren Operationen alle unär sind, heißt eine Presheaf. Jede Klasse von Presheaves enthält eine Presheaf Ω, die für Unteralgebren die Rolle spielt, die 2 für Teilmengen spielt. Eine solche Klasse ist ein Spezialfall des allgemeineren Begriffs des elementaren Topos als einer Kategorie, die geschlossen (und darüber hinaus kartesisch geschlossen) ist und ein Objekt Ω besitzt, das als Unterobjektklassifikator bezeichnet wird. Obwohl der Begriff „Potenzobjekt“ manchmal synonym mit Exponentialobjekt YX verwendet wird, ist in der Topostheorie Y erforderlich, um Ω zu sein.

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