Por qué la raíz cuadrada de 2 es irracional
La raíz cuadrada de 2
¿Es la raíz cuadrada de 2 una fracción?
Supongamos que lo es, y veamos qué ocurre.
Si es una fracción, entonces debemos ser capaces de escribirla como una fracción simplificada así:
m/n
(m y n son ambos números enteros)
Y esperamos que al elevar al cuadrado obtengamos 2:
(m/n)2 = 2
que es lo mismo que
m2/n2 = 2
o dicho de otra forma, m2 es el doble que n2:
m2 = 2 × n2
Inténtalo tú mismo
¡A ver si encuentras un valor para m y n que funcione!
Ejemplo: probemos con m=17 y n=12:
m/n = 17/12
Al cuadrado obtenemos
172/122 = 289/144 = 2.0069444…
Que está cerca de 2, pero no es del todo correcto
Puedes ver que realmente queremos que m2 sea el doble de n2 (289 es aproximadamente el doble de 144). Puedes hacerlo mejor?
Pares e Impares
Ahora, retomemos esta idea de que m2 = 2 × n2
En realidad significa que m2 debe ser un número par.
¿Por qué? Porque siempre que multiplicamos por un número par (2 en este caso) el resultado es un número par. Así:
| Operación | Resultado | Ejemplo | Par × Par | Par | 2 × 8 = 16 |
|---|---|---|
| Par × Impar | Par | 2 × 7 = 14 | Impares × Pares | Pares | 5 × 8 = 40 |
| Impares × Impares | Impares | 5 × 7 = 35 |
Y si m2 es par, entonces m debe ser par (si m era impar entonces m2 también es impar). Entonces:
m es par
Y todos los números pares son múltiplos de 2, por lo que m es múltiplo de 2, por lo que m2 es múltiplo de 4.
Y si m2 es múltiplo de 4, entonces n2 debe ser múltiplo de 2 (recordando que m2/n2 = 2).
Y entonces…
n también es par
Pero espera… si tanto m como n son pares, deberíamos poder simplificar la fracción m/n.
Ejemplo: 2/12 se puede simplificar a 1/6
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… y si no está ya simplificado, pues simplifiquémoslo ahora y empecemos de nuevo. Pero eso sigue obteniendo el mismo resultado: tanto n como m son pares.
Bueno, esto es una tontería – podemos demostrar que tanto n como m son siempre pares, sin importar que ya hayamos simplificado la fracción. |
Así que algo está terriblemente mal… debe ser nuestra primera suposición de que la raíz cuadrada de 2 es una fracción. No puede serlo.
Y, por tanto, la raíz cuadrada de 2 no puede escribirse como una fracción.
Irracionales
Llamamos a esos números «irracionales», no porque sean una locura, sino porque no pueden escribirse como un cociente (o fracción). Y decimos:
«La raíz cuadrada de 2 es irracional»
Se cree que es el primer número irracional descubierto. Pero hay muchos más.
Reductio ad absurdum
Por cierto, el método que utilizamos para demostrar esto (haciendo primero una suposición y luego viendo si se resuelve bien) se llama «prueba por contradicción» o «reductio ad absurdum».
Historia
Hace muchos años (alrededor del 500 a.C.) los matemáticos griegos como Pitágoras creían que todos los números podían mostrarse como fracciones.
Y pensaban que la recta numérica estaba formada íntegramente por fracciones, porque para dos fracciones cualesquiera siempre podemos encontrar una fracción entre ellas (por lo que podemos mirar cada vez más cerca la recta numérica y encontrar más y más fracciones).
Ejemplo: entre 1/4 y 1/2 está 1/3. Entre 1/3 y 1/2 está 2/5, entre 1/3 y 2/5 está 3/8, y así sucesivamente.
(Nota: La forma fácil de encontrar una fracción entre otras dos fracciones es sumar los máximos y sumar los mínimos, así que entre 3/8 y 2/5 está (3+2)/(8+5) = 5/13).
Así que como este proceso no tiene fin, hay infinitos puntos de este tipo. Y eso parece llenar la recta numérica, ¿no?
Y estaban muy contentos con eso… hasta que descubrieron que la raíz cuadrada de 2 no era una fracción, ¡y tuvieron que replantearse sus ideas por completo!
Conclusión
La raíz cuadrada de 2 es «irracional» (no se puede escribir como una fracción) … porque si se pudiera escribir como una fracción entonces tendríamos el caso absurdo de que la fracción tendría números pares tanto en la parte superior como en la inferior y así siempre se podría simplificar.