Porque é que a Raiz Quadrada de 2 é Irracional
A Raiz Quadrada de 2
É a raiz quadrada de 2 uma fracção?
Deixe-nos assumir que é, e ver o que acontece.
Se for uma fracção, então devemos ser capazes de a escrever como uma fracção simplificada como esta:
m/n
(m e n são ambos números inteiros)
E esperamos que quando a quadrarmos obtenhamos 2:
(m/n)2 = 2
que é o mesmo que
m2/n2 = 2
ou, dito de outra forma, m2 é duas vezes maior que n2:
m2 = 2 × n2
Tente-se
Veja se consegue encontrar um valor para m e n que funcione!
Exemplo: tentemos m=17 e n=12:
m/n = 17/12
Quando estabelecermos o quadrado que obtemos
172/122 = 289/144 = 2.0069444…
Quem está perto de 2, mas não é bem assim
Vemos que queremos realmente que m2 seja duas vezes n2 (289 é cerca de duas vezes 144). Pode fazer melhor?
Even e Odd
Agora, vamos retomar esta ideia de que m2 = 2 × n2
Na verdade, significa que m2 deve ser um número par.
Porquê? Porque sempre que nos multiplicamos por um número par (2 neste caso), o resultado é um número par. Assim:
| Operação | Resultado | Exemplo >/th> |
|---|---|---|
| Even × Even | Even | 2 × 8 = 16 |
| Even × Odd | Even | 2 × 7 = 14 |
| Odd × Even | Even | 5 × 8 = 40 |
| Odd × Odd | Odd | 5 × 7 = 35 |
E se m2 for uniforme, então m deve ser uniforme (se m era ímpar então m2 também é ímpar). So:
m é par
E todos os números pares são um múltiplo de 2, então m é um múltiplo de 2, então m2 é um múltiplo de 4,
E se m2 é um múltiplo de 4, então n2 deve ser um múltiplo de 2 (lembrando que m2/n2 = 2).
E assim …
n também é igual
Mas aguenta … se tanto m como n são iguais, devemos ser capazes de simplificar a fracção m/n.
Exemplo: 2/12 pode ser simplificado a 1/6
Mas já dissemos que foi simplificado …
 |
… e se ainda não está simplificado, então vamos simplificá-lo agora e começar de novo. Mas o resultado continua a ser o mesmo: tanto n como m são iguais. Bem, isto é uma parvoíce – podemos mostrar que tanto n como m são sempre iguais, não importa que já tenhamos simplificado a fracção. |
Então algo está terrivelmente errado … deve ser a nossa primeira suposição de que a raiz quadrada de 2 é uma fracção. Não pode ser.
E assim a raiz quadrada de 2 não pode ser escrita como uma fracção.
Irracional
Chamamos tais números de “irracionais”, não porque sejam loucos mas porque não podem ser escritos como uma razão (ou fracção). E dizemos:
“A raiz quadrada de 2 é irracional”
Pensa-se que seja o primeiro número irracional alguma vez descoberto. Mas há muito mais.
Reductio ad absurdum
Por falar nisso, o método que utilizámos para o provar (primeiro fazendo uma suposição e depois vendo se funciona bem) é chamado “prova por contradição” ou “reductio ad absurdum”.
Redução ad absurdum: um tipo de argumento lógico em que se assume uma alegação em nome da argumentação e se obtém um resultado absurdo ou ridículo, e depois conclui-se que a alegação original deve ter sido errada, uma vez que levou a um resultado absurdo. (da Wikipedia)
História
Muitos anos atrás (cerca de 500 AC), matemáticos gregos como Pitágoras acreditavam que todos os números podiam ser mostrados como fracções.
E eles pensavam que a linha numérica era composta inteiramente de fracções, porque para quaisquer duas fracções podemos sempre encontrar uma fracção entre elas (para que possamos olhar cada vez mais de perto para a linha numérica e encontrar mais e mais fracções).
Exemplo: entre 1/4 e 1/2 é 1/3. Entre 1/3 e 1/2 é 2/5, entre 1/3 e 2/5 é 3/8, e assim por diante.
(Nota: A maneira fácil de encontrar uma fracção entre duas outras fracções é adicionar as partes superiores e adicionar as partes inferiores, assim entre 3/8 e 2/5 é (3+2)/(8+5) = 5/13).
Então, porque este processo não tem fim, existem infinitamente muitos desses pontos. E isso parece preencher a linha do número, não é?
E eles ficaram muito contentes com isso … até descobrirem que a raiz quadrada de 2 não era uma fracção, e tiveram de repensar completamente as suas ideias!
Conclusão
A raiz quadrada de 2 é “irracional” (não pode ser escrita como uma fracção) … porque se pudesse ser escrita como uma fracção então teríamos o caso absurdo de a fracção ter números pares tanto em cima como em baixo e assim poderia ser sempre simplificada.