Dlaczego pierwiastek kwadratowy z 2 jest irracjonalny

Pierwiastek kwadratowy z 2

Czy pierwiastek kwadratowy z 2 jest ułamkiem?

Załóżmy, że tak, i zobaczmy co się stanie.

Jeśli jest to ułamek, to musimy być w stanie zapisać go jako ułamek uproszczony w ten sposób:

m/n

(m i n są liczbami całkowitymi)

I mamy nadzieję, że kiedy podniesiemy go do kwadratu, otrzymamy 2:

(m/n)2 = 2

co jest tym samym, co

m2/n2 = 2

albo mówiąc inaczej, m2 jest dwa razy większe od n2:

m2 = 2 × n2

Spróbuj sam

Sprawdź, czy potrafisz znaleźć wartość dla m i n, która działa!

Parzyste i nieparzyste

Teraz zajmijmy się tym pomysłem, że m2 = 2 × n2

To faktycznie oznacza, że m2 musi być liczbą parzystą.

Dlaczego? Ponieważ zawsze, gdy mnożymy przez liczbę parzystą (w tym przypadku 2), wynik jest liczbą parzystą. Na przykład tak:

And if m2 is even, to m musi być parzyste (jeśli m było nieparzyste, to m2 też jest nieparzyste). Więc:

m jest parzyste

A wszystkie liczby parzyste są wielokrotnością 2, więc m jest wielokrotnością 2, więc m2 jest wielokrotnością 4.

A jeśli m2 jest wielokrotnością 4, to n2 powinno być wielokrotnością 2 (pamiętając, że m2/n2 = 2).

I tak …

n jest również parzyste

Ale poczekaj … jeśli zarówno m jak i n są parzyste, to powinniśmy być w stanie uprościć ułamek m/n.

Ale już powiedzieliśmy, że to zostało uproszczone …

… a jeśli nie jest już uproszczony, to uprośćmy go teraz i zacznijmy od nowa. Ale to wciąż daje ten sam wynik: zarówno n jak i m są parzyste. Cóż, to głupie – możemy pokazać, że zarówno n jak i m są zawsze parzyste, bez względu na to, że już uprościliśmy ułamek.

Więc coś jest strasznie nie tak … to musi być nasze pierwsze założenie, że pierwiastek kwadratowy z 2 jest ułamkiem. Nie może być.

A więc pierwiastek kwadratowy z 2 nie może być zapisany jako ułamek.

Irracjonalne

Nazwamy takie liczby „irracjonalnymi”, nie dlatego, że są szalone, ale dlatego, że nie mogą być zapisane jako stosunek (lub ułamek). I mówimy:

„Pierwiastek kwadratowy z 2 jest irracjonalny”

Uważa się, że jest to pierwsza irracjonalna liczba, jaką kiedykolwiek odkryto. Ale jest ich o wiele więcej.

Reductio ad absurdum

Przy okazji, metoda, której użyliśmy, aby to udowodnić (najpierw przyjmując założenie, a potem sprawdzając, czy się sprawdza) nazywa się „dowodem przez sprzeczność” lub „reductio ad absurdum”.

Historia

Wiele lat temu (około 500 p.n.e.) greccy matematycy tacy jak Pitagoras wierzyli, że wszystkie liczby mogą być przedstawione jako ułamki.

I sądzili, że linia liczbowa składa się wyłącznie z ułamków, ponieważ dla dowolnych dwóch ułamków zawsze możemy znaleźć ułamek pomiędzy nimi (więc możemy patrzeć coraz bliżej na linię liczbową i znajdować coraz więcej ułamków).

Więc ponieważ ten proces nie ma końca, istnieje nieskończenie wiele takich punktów. I to wydaje się wypełniać linię liczb, prawda?

I byli z tego bardzo zadowoleni … dopóki nie odkryli, że pierwiastek kwadratowy z 2 nie jest ułamkiem, i musieli całkowicie przemyśleć swoje pomysły!

Wniosek

Pierwiastek kwadratowy z 2 jest „irracjonalny” (nie może być zapisany jako ułamek) … ponieważ gdyby mógł być zapisany jako ułamek, mielibyśmy absurdalny przypadek, że ułamek miałby parzyste liczby zarówno na górze jak i na dole, a więc zawsze mógłby być uproszczony.