Déflexion des ailerons

6.3 Modélisation semi-empirique du mouvement de rotation sur trois axes de l’avion

Dans la section précédente, nous avons démontré l’efficacité de l’approche semi-empirique pour la modélisation ANN des systèmes dynamiques en l’appliquant au problème du mouvement angulaire longitudinal de l’avion manœuvrable. Cette tâche est relativement simple, en raison de sa faible dimensionnalité et, surtout, de l’utilisation d’une commande monocanal (canal de tangage, une seule surface de contrôle est utilisée, à savoir un stabilisateur entièrement mobile). Dans cette section, nous résolvons un problème beaucoup plus complexe. Nous allons concevoir le modèle ANN du mouvement de rotation à trois axes (avec trois commandes utilisées simultanément : stabilisateur, gouvernail et ailerons) et effectuer l’identification pour cinq des six coefficients aérodynamiques inconnus.

Comme dans le cas précédent, le modèle théorique du problème résolu est le modèle traditionnel correspondant du mouvement de l’avion, qui contient certains facteurs d’incertitude. Pour éliminer les incertitudes existantes, nous formons le modèle ANN semi-empirique, qui comprend cinq modules de boîte noire qui représentent les coefficients de force normale et latérale, ainsi que les coefficients de moment de tangage, de lacet et de roulis, dont chacun dépend de manière non linéaire de plusieurs paramètres du mouvement de l’avion. Ces cinq dépendances doivent être extraites (restaurées) à partir des données expérimentales disponibles pour les variables observées du système dynamique, c’est-à-dire que nous devons résoudre le problème d’identification des caractéristiques aérodynamiques de l’avion.

L’approche proposée pour l’identification des caractéristiques aérodynamiques d’un avion diffère sensiblement de la manière traditionnellement admise pour résoudre de tels problèmes. À savoir, l’approche traditionnelle repose sur l’utilisation d’un modèle linéarisé du mouvement perturbé d’un aéronef. Dans ce cas, les dépendances des forces et des moments aérodynamiques agissant sur l’avion sont représentées sous la forme d’une expansion en série de Taylor, tronquée après les termes du premier ordre (dans de rares cas après les termes du second ordre). Dans un tel cas, nous réduisons la solution du problème d’identification à la reconstruction des coefficients du développement de Taylor en utilisant les données expérimentales. Dans ce développement, les termes dominants sont les dérivées partielles des coefficients sans dimension des forces et moments aérodynamiques concernant les différents paramètres du mouvement de l’avion (Czα, Cyβ, Cmα, Cmq, etc.). En revanche, l’approche semi-empirique met en œuvre la reconstruction des relations des coefficients des forces Cx, Cy, Cz et des moments Cl, Cn, Cm comme des dépendances non linéaires entières à partir des arguments correspondants. Nous effectuons cette reconstruction sans recourir à une expansion en série de Taylor pour les coefficients aérodynamiques. C’est-à-dire que les fonctions Cx, Cy, Cz, Cl, Cn, Cm sont elles-mêmes estimées, et non les coefficients de leur développement en série. Nous représentons chacune de ces dépendances comme un module ANN distinct intégré au modèle semi-empirique. Si les dérivées Czα, Cyβ, Cmα, Cmq, etc. sont nécessaires pour la résolution de certains problèmes, par exemple pour l’analyse des caractéristiques de stabilité et de la contrôlabilité d’un avion, elles peuvent être facilement estimées en utilisant les modules ANN appropriés obtenus lors de la génération d’un modèle ANN semi-empirique (voir également la fin de la section précédente).

La notation suivante est utilisée pour ce modèle : p, r, q sont les vitesses angulaires de roulis, de lacet et de tangage, deg/sec ; ϕ, ψ, θ sont les angles de roulis, de lacet et de tangage, deg ; α, β sont les angles d’attaque et de dérapage, deg ; δe, δr, δa sont les angles de déflexion du stabilisateur, de la gouverne de direction et des ailerons commandés, deg ; δ˙e, δ˙r, δ˙a sont les vitesses angulaires de déflexion du stabilisateur, de la gouverne de direction et des ailerons commandés, deg/sec ; V est la vitesse de l’air, m/sec ; δeact, δract, δaact sont les signaux de commande des actionneurs du stabilisateur, de la gouverne de direction et des ailerons commandés, en degrés ; Te, Tr, Ta sont les constantes de temps des actionneurs du stabilisateur, de la gouverne de direction et des ailerons commandés, en secondes ; ζe, ζr, ζa sont les coefficients d’amortissement relatifs pour les actionneurs du stabilisateur commandé, de la gouverne de direction et des ailerons ; D, L, Y sont les forces de traînée, de portance et latérales ; L¯, M¯, N¯ sont les moments de roulis, de tangage et de lacet ; m est la masse de l’avion, kg.

En outre, dans les équations (6.11), (6.12), nous utilisons les notations suivantes : X¯, Y¯, Z¯ sont les forces aérodynamiques axiale, latérale et normale ; S est la surface de l’aile de l’avion, m2 ; b, c¯ sont l’envergure et la corde aérodynamique moyenne de l’aile, m ; qp est la pression dynamique de l’air, kg⋅m-1sec-2. De plus, Cx, Cy, Cz désignent les coefficients sans dimension des forces axiales, latérales et normales, et Cl, Cm, Cn désignent les coefficients sans dimension des moments de roulis, de tangage et de lacet. Tous ces coefficients aérodynamiques sont des fonctions non linéaires de leurs arguments, comme indiqué dans (6.11) et (6.12).

Il convient de noter que les dépendances des coefficients des forces aérodynamiques et, surtout, des moments aérodynamiques sur leurs arguments respectifs sont fortement non linéaires dans le domaine d’intérêt, ce qui complique considérablement le processus d’identification des caractéristiques aérodynamiques pour un avion manœuvrable. A titre d’exemple, dans la figure 6.8, nous montrons la section transversale de l’hypersurface donnée par la fonction Cm=Cm(α,β,δe,q) à δe∈{-25,0,25} deg, q=0 deg/sec dans le domaine α∈ deg, β∈ deg.

Figure 6.8. Coupes transversales de l’hypersurface Cm = Cm(α,β,δe,q) pour plusieurs valeurs de δe à q = 0 deg/sec, V = 150 m/sec dans le domaine α ∈ deg, β ∈ deg.

Nous considérons l’avion manœuvrable F-16 comme un exemple d’objet simulé. Les données de base le concernant proviennent du rapport , qui présente les résultats expérimentaux obtenus par des essais en soufflerie.

Les valeurs particulières suivantes des variables correspondantes dans (6.6)-(6.13) ont été adoptées pour la simulation : la masse de l’avion m=9295,44 kg ; l’envergure b=9,144 m ; la surface de l’aile S=27,87 m2 ; la corde aérodynamique moyenne de l’aile est c¯=3,45 m ; les moments d’inertie Ix=12874.8 kg⋅m2, Iy=75673.6 kg⋅m2, Iz=85552.1 kg⋅m2, Ixz=1331.4 kg⋅m2, Ixy=Iyz=0 kg⋅m2 ; le centre de gravité se situe à 5% de la corde aérodynamique moyenne ; les constantes de temps des actionneurs Te=Tr=Ta=0.025 sec ; les coefficients d’amortissement relatifs des actionneurs sont ζe=ζr=ζa=0,707.

Pendant les processus transitoires du mouvement angulaire pour l’avion, la vitesse V et l’altitude de vol H ne changent pas de manière significative. Ainsi, nous les supposons constantes et n’incluons pas les équations correspondantes qui décrivent le mouvement de translation dans le modèle. Dans les expériences réalisées, nous avons utilisé les valeurs constantes suivantes : altitude au-dessus du niveau de la mer H=3000 m ; vitesse de l’air V=147,86 m/sec. En conséquence, les autres variables, qui ne dépendent que des constantes V et H, ont les valeurs suivantes : accélération gravitationnelle g=9,8066 m/sec2 ; densité de l’air ρ=0,8365 kg/m3 ; vitesse locale du son a=328,5763 m/sec ; nombre de Mach du courant libre M0=0,45 ; pression dynamique de l’air qp=9143.6389 kg⋅m-1 sec-2.

Dans le modèle (6.6)-(6.9), les 14 variables p, q, r, ϕ, θ, ψ, α, β, δe, δr, δa, δ˙e, δ˙r, δ˙a représentent l’état de l’objet commandé, et les trois autres variables δeact, δract, δaact représentent les commandes. Les valeurs des variables de contrôle sont restreintes aux plages suivantes : δeact∈ deg, δract∈ deg, δaact∈ deg pour les signaux de commande aux actionneurs du stabilisateur, de la gouverne de direction et des ailerons contrôlés, respectivement.

Pendant le processus de génération de l’ensemble d’entraînement, ainsi que pendant le test du modèle ANN semi-empirique final, les actions de contrôle ont été appliquées à l’avion simultanément le long des trois canaux (gouverne de profondeur, gouverne de direction, ailerons). Nous avons utilisé les signaux d’excitation polyharmoniques δeact, δract, δaact pour la génération de l’ensemble d’entraînement et les signaux d’excitation aléatoires pour la génération de l’ensemble de test.

Les expériences de calcul pour le modèle (6.6)-(6.9) ont été réalisées sur l’intervalle de temps t∈ sec dans la phase d’entraînement du modèle ANN et sur l’intervalle t∈ sec dans la phase de test. Dans les deux cas, nous avons utilisé la période d’échantillonnage Δt=0,02 sec et un vecteur d’état partiellement observé y(t)=T. La sortie du système y(t) est corrompue par un bruit gaussien additif avec un écart-type σα=σβ=0,02 deg, σp=0,1 deg/sec, σq=σr=0,05 deg/sec.

Comme dans l’exemple précédent (Section 6.2), nous utiliserons l’écart-type du bruit additif affectant la sortie du système comme valeur cible de l’erreur de simulation. Nous effectuons la formation du réseau neuronal LDDN à l’aide de l’algorithme de Levenberg-Marquardt pour la minimisation de la fonction objectif d’erreur quadratique moyenne évaluée sur l’ensemble de données de formation {yi}, i=1,…,N, qui a été obtenu à l’aide du modèle théorique initial (6.6)-(6.9). La matrice de Jacobi est calculée à l’aide de l’algorithme RTRL . La stratégie d’apprentissage du modèle ANN était basée sur la segmentation de l’ensemble d’entraînement considéré au chapitre 5.

Le diagramme structurel du modèle semi-empirique correspondant au système (6.6)-(6.9) est assez lourd et n’est donc pas montré ici. Ce diagramme est conceptuellement similaire à celui de la figure 6.5 ; cependant, il comprend un nombre beaucoup plus important d’éléments et de connexions entre eux. La plupart de ces éléments correspondent aux termes supplémentaires du modèle théorique initial et ne contiennent aucun paramètre accordable inconnu. En outre, le modèle ANN du système (6.6)-(6.9) contient cinq modules ANN de type boîte noire qui représentent des dépendances inconnues pour les coefficients des forces et des moments aérodynamiques (Cy, Cz, Cl, Cn, Cm) à reconstruire, contre seulement deux modules (Cz, Cm) pour le système (6.5).

Il est important de noter que, puisque nous considérons le problème de la modélisation du mouvement angulaire de l’avion à courte période, nous pouvons supposer que l’altitude H et la vitesse V sont constantes (ces variables ne changent pas significativement pendant le temps transitoire). Cette hypothèse nous permet de réduire le modèle théorique initial en éliminant les équations différentielles du mouvement de translation d’un avion ainsi que les équations qui décrivent la dynamique du moteur. Cependant, cela conduit également à l’absence de possibilité de contrôler efficacement la vitesse de l’avion en utilisant la poussée du moteur ou la déflexion des aérofreins. Ainsi, nous ne pouvons pas obtenir un ensemble d’entraînement représentatif pour le coefficient de force axiale Cx en utilisant uniquement les déflexions du stabilisateur, du gouvernail et des ailerons. Afin de surmonter ce problème, nous entraînons d’abord le module ANN pour Cx en utilisant directement les données de la soufflerie, séparément du modèle complet. Ensuite, nous intégrons ce module ANN dans le modèle semi-empirique et  » gelons  » ses paramètres (c’est-à-dire que nous interdisons leur modification pendant l’apprentissage du modèle). Enfin, nous effectuons l’entraînement du modèle semi-empirique pour approximer simultanément les fonctions inconnues Cy, Cz, Cl, Cm, Cn.1

Si nous étendons le modèle théorique initial (6.6)-(6.9) en ajoutant les équations du mouvement de translation de l’avion ainsi que les équations qui décrivent la dynamique du moteur, il devient possible de reconstruire l’ensemble des six fonctions Cx, Cy, Cz, Cl, Cm, Cn en entraînant le modèle ANN semi-empirique. Ce problème est conceptuellement similaire, bien que l’entraînement du modèle prenne un peu plus de temps en raison de l’augmentation de la dimensionnalité.

Comme nous l’avons déjà noté, pour garantir l’adéquation du modèle ANN semi-empirique en cours de création, nous avons besoin d’un ensemble d’entraînement représentatif (informatif) qui décrit la réponse de l’objet simulé aux signaux de commande d’une gamme donnée. Ces contraintes sur les valeurs des signaux de commande conduisent à leur tour à des contraintes sur les valeurs des variables d’état qui décrivent le système. L’adéquation du modèle conçu2 ne peut être assurée que dans le domaine correspondant des valeurs des variables de commande et d’état, qui est formé par les contraintes mentionnées ci-dessus.

Afin d’étendre ces plages de valeurs pour les variables de contrôle et d’état jusqu’à la zone opérationnelle complète du système simulé, nous devons développer des algorithmes appropriés pour la génération de modèles. L’une des approches pour résoudre ce problème repose sur les méthodes d’apprentissage incrémentiel pour le modèle ANN. Selon cette approche, initialement, seul le noyau du modèle est conçu qui fournit la précision requise dans un certain sous-espace de la zone opérationnelle, puis le domaine du modèle est étendu de manière itérative, tout en préservant le comportement dans le sous-domaine précédent.

Cet algorithme a été appliqué avec succès au problème de l’identification des coefficients aérodynamiques pour les cinq coefficients inconnus Cy, Cz, Cl, Cm, Cn et l’horizon de prédiction de 1000 pas de temps. Les résultats des expériences de calcul pour ce problème sont présentés dans le tableau 6.5 et dans les figures 6.9 et 6.10.

Tableau 6.5. Erreur de simulation sur l’ensemble de test pour le modèle semi-empirique à différentes étapes d’apprentissage.

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Horizon de prédiction	MSEα	MSEβ	MSEp	MSEr	MSEq
2	0.1376	0,2100	1,5238	0,4523	0,4517
4	0,1550	0,0870	0.5673	0,2738	0,4069
6	0,1647	0,0663	0,4270	0,2021	0.3973
9	0,1316	0,0183	0,1751	0,0530	0,2931	14	0,0533	0,2931	14	0.0533	0,0109	0,1366	0,0300	0,1116	21	0,0171	0,0080	0,0972	0.0193	0,0399
1000	0,0171	0,0080	0,0972	0,0193	0.0399

Figure 6.9. Évaluation de la capacité de généralisation du modèle ANN après la phase finale d’apprentissage en 1000 étapes : Eα, Eβ, Ep, Er, Eq sont les erreurs de prédiction pour les variables observables correspondantes ; les lignes droites sur les trois sous-graphes supérieurs montrent les valeurs des variables de contrôle correspondant à la manœuvre de test (De , utilisé avec la permission de l’Institut d’aviation de Moscou).

Figure 6.10. Les valeurs de l’erreur de reproduction pour les valeurs Cy, Cz, Cl, Cn, Cm selon les dépendances reconstruites pour celles-ci lors du test du modèle semi-empirique (se référer aux plages de ces valeurs obtenues lors du test) (De , utilisé avec la permission de l’Institut d’aviation de Moscou).

L’analyse des résultats de simulation obtenus nous permet de tirer les conclusions suivantes.

La caractéristique la plus importante du modèle généré est sa capacité à généraliser. Pour les modèles de réseaux neuronaux, cela signifie généralement la capacité du modèle à assurer la précision souhaitée non seulement pour les données utilisées pour l’apprentissage du modèle, mais aussi pour toutes les valeurs des entrées (dans ce cas, les variables de contrôle et d’état) dans le domaine d’intérêt. Ce type de vérification est effectué sur l’ensemble de données de test qui couvre le domaine susmentionné et ne coïncide pas avec l’ensemble de données d’apprentissage.

Une solution réussie du problème de modélisation et d’identification devrait garantir, premièrement, que la précision de modélisation requise est atteinte dans tout le domaine d’intérêt du modèle et, deuxièmement, que les caractéristiques aérodynamiques de l’avion sont approximées avec la précision souhaitée.

D’après les résultats présentés dans la Fig. 6.9 et le Tableau 6.5, nous pouvons conclure que le premier de ces problèmes est résolu avec succès. La Fig. 6.9 démontre que les erreurs de prédiction pour toutes les variables observées sont insignifiantes et que ces erreurs croissent très lentement dans le temps, ce qui indique de bonnes propriétés de généralisation du modèle ANN. A savoir, le modèle ne « s’écroule » pas avec un horizon de prédiction suffisamment grand.

Les tests ont été effectués pour un horizon de prédiction de 40 sec, ce qui est un intervalle de temps suffisamment long pour le problème de la modélisation du mouvement des avions à courte période. Nous devons souligner que le modèle a été testé dans des conditions assez strictes. Nous pouvons voir sur la Fig. 6.9 qu’un travail très actif est effectué par les surfaces de contrôle de l’avion (stabilisateur contrôlé, gouverne de direction, ailerons), exprimé par le changement fréquent de la valeur des signaux de commande δeact, δract, δaact pour les actionneurs des surfaces de contrôle. Dans cette situation, il y a une différence significative entre les valeurs adjacentes des signaux de commande qui ont été générés de manière aléatoire. L’objectif de cette méthode de génération d’un ensemble de données de test est de fournir une grande variété d’états pour le système simulé (afin de couvrir aussi uniformément et densément que possible l’espace d’état entier du système), ainsi que la variété des changements dans les états voisins dans le temps (afin de refléter authentiquement dans le modèle ANN la dynamique du système simulé). Un facteur de complication supplémentaire est que la perturbation d’entrée suivante affecte l’avion avant que les processus de transition d’une ou plusieurs perturbations précédentes ne se soient éteints.

La figure 6.9 caractérise le modèle final après que la procédure d’entraînement ait déjà été achevée. Les données présentées dans le tableau 6.5 nous permettent d’analyser la dynamique de précision pour ce modèle pendant la formation.

La précision du modèle est déterminée par la précision avec laquelle les fonctions non linéaires qui représentent les caractéristiques aérodynamiques de l’avion sont reconstruites. Les données de la figure 6.9 caractérisent l’effet total que les erreurs de ces approximations de fonctions ont sur la précision des prédictions de trajectoire données par le modèle. Ces résultats peuvent être considérés comme tout à fait satisfaisants. Cependant, il est également intéressant d’analyser avec quelle précision le problème de l’identification des caractéristiques aérodynamiques a été résolu.

Pour répondre à cette question, nous devons extraire les modules ANN correspondant aux fonctions approximées Cy, Cz, Cl, Cn, Cm et ensuite comparer les valeurs qu’ils donnent avec les données expérimentales disponibles . Des estimations intégrales de la précision peuvent être obtenues, par exemple, avec la fonction RMSE. Dans les expériences ci-dessus, nous avons les estimations d’erreur suivantes : RMSE=Cy5.4257⋅10-4, RMSE=Cz9.2759⋅10-4, RMSE=Cl2.1496⋅10-5, RMSE=Cm1.4952⋅10-4, RMSE=Cn1.3873⋅10-5. Les valeurs de l’erreur de reproduction des fonctions Cy, Cz, Cl, Cn, Cm pour chaque instant au cours du test du modèle semi-empirique sont présentées sur la Fig. 6.10.

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