Aileron Deflection

6.3 Semiempirical Modeling of Aircraft Three-Axis Rotational Motion

Nella sezione precedente, abbiamo dimostrato l’efficacia dell’approccio semiempirico alla modellazione ANN di sistemi dinamici applicandolo al problema del moto angolare longitudinale dell’aereo manovrabile. Questo compito è relativamente semplice, a causa della sua bassa dimensionalità e, soprattutto, a causa dell’uso di un controllo monocanale (canale del passo, si usa una sola superficie di controllo, cioè uno stabilizzatore tutto mobile). In questa sezione, risolviamo un problema molto più complicato. Progettiamo il modello ANN del moto rotatorio a tre assi (con tre controlli utilizzati simultaneamente: stabilizzatore, timone e alettoni) ed eseguiamo l’identificazione per cinque dei sei coefficienti aerodinamici incogniti.

Come nel caso precedente, il modello teorico per il problema da risolvere è il corrispondente modello tradizionale del moto dell’aereo, che contiene alcuni fattori di incertezza. Per eliminare le incertezze esistenti, formiamo il modello semiempirico ANN, che comprende cinque moduli a scatola nera che rappresentano i coefficienti di forza normale e laterale, così come i coefficienti di momento di beccheggio, imbardata e rollio, ognuno dei quali dipende in modo non lineare da diversi parametri del moto dell’aereo. Queste cinque dipendenze devono essere estratte (ripristinate) dai dati sperimentali disponibili per le variabili osservate del sistema dinamico, cioè dobbiamo risolvere il problema di identificazione delle caratteristiche aerodinamiche dell’aereo.

L’approccio proposto per l’identificazione delle caratteristiche aerodinamiche di un aereo differisce sostanzialmente dal modo tradizionalmente accettato di risolvere tali problemi. Vale a dire, l’approccio tradizionale si basa sull’uso di un modello linearizzato del moto perturbato di un aereo. In questo caso, le dipendenze per le forze e i momenti aerodinamici che agiscono sull’aereo sono rappresentate sotto forma di espansione della serie di Taylor, troncata dopo i termini del primo ordine (in rari casi dopo i termini del secondo ordine). In tal caso, riduciamo la soluzione del problema di identificazione alla ricostruzione dei coefficienti dell’espansione di Taylor utilizzando i dati sperimentali. In questa espansione, i termini dominanti sono le derivate parziali dei coefficienti adimensionali delle forze e dei momenti aerodinamici riguardanti i vari parametri del moto dell’aereo (Czα, Cyβ, Cmα, Cmq, ecc.). Al contrario, l’approccio semiempirico implementa la ricostruzione delle relazioni per i coefficienti delle forze Cx, Cy, Cz e dei momenti Cl, Cn, Cm come dipendenze intere non lineari dagli argomenti corrispondenti. Eseguiamo questa ricostruzione senza ricorrere a un’espansione in serie di Taylor per i coefficienti aerodinamici. Cioè, le funzioni Cx, Cy, Cz, Cl, Cn, Cm stesse sono stimate, e non i coefficienti della loro espansione in serie. Rappresentiamo ciascuna di queste dipendenze come un modulo ANN separato incorporato nel modello semiempirico. Se le derivate Czα, Cyβ, Cmα, Cmq, ecc. sono richieste per la soluzione di alcuni problemi, per esempio, per l’analisi delle caratteristiche di stabilità e controllabilità di un aereo, esse possono essere facilmente stimate utilizzando gli appropriati moduli ANN ottenuti durante la generazione di un modello ANN semiempirico (vedi anche la fine della sezione precedente).

Per questo modello si usa la seguente notazione: p, r, q sono le velocità angolari di rollio, imbardata e beccheggio, deg/sec; ϕ, ψ, θ sono gli angoli di rollio, imbardata e beccheggio, deg; α, β sono gli angoli di attacco e di sideslip, deg; δe, δr, δa sono gli angoli di deflessione dello stabilizzatore controllato, del timone e degli alettoni, deg; δ˙e, δ˙r, δ˙a sono le velocità angolari di deflessione dello stabilizzatore controllato, del timone e degli alettoni, deg/sec; V è la velocità dell’aria, m/sec; δeact, δract, δaact sono i segnali di comando agli attuatori dello stabilizzatore controllato, del timone e degli alettoni, deg; Te, Tr, Ta sono le costanti di tempo per gli attuatori dello stabilizzatore controllato, del timone e degli alettoni, sec; ζe, ζr, ζa sono i coefficienti di smorzamento relativi per gli attuatori dello stabilizzatore controllato, del timone e degli alettoni; D, L, Y sono le forze di resistenza, portanza e laterale; L¯, M¯, N¯ sono i momenti di rollio, beccheggio e imbardata; m è la massa dell’aereo, kg.

Inoltre, nelle Eqs. (6.11), (6.12) usiamo la seguente notazione: X¯, Y¯, Z¯ sono le forze aerodinamiche assiali, laterali e normali; S è l’area dell’ala dell’aereo, m2; b, c¯ sono l’apertura alare e la corda aerodinamica media dell’ala, m; qp è la pressione dinamica dell’aria, kg⋅m-1sec-2. Inoltre, Cx, Cy, Cz indicano i coefficienti adimensionali delle forze assiali, laterali e normali, e Cl, Cm, Cn indicano i coefficienti adimensionali dei momenti di rollio, beccheggio e imbardata. Tutti questi coefficienti aerodinamici sono funzioni non lineari dei loro argomenti, come elencati nelle (6.11) e (6.12).

Si deve notare che le dipendenze dei coefficienti delle forze aerodinamiche e, soprattutto, dei momenti aerodinamici dai loro rispettivi argomenti sono altamente non lineari all’interno del dominio di interesse, che complica notevolmente il processo di identificazione delle caratteristiche aerodinamiche per un aereo manovrabile. Come esempio, in Fig. 6.8 mostriamo la sezione trasversale dell’ipersuperficie data dalla funzione Cm=Cm(α,β,δe,q) a δe∈{-25,0,25} deg, q=0 deg/sec nel dominio α∈ deg, β∈ deg.

Figura 6.8. Sezioni trasversali dell’ipersuperficie Cm = Cm(α,β,δe,q) per diversi valori di δe a q = 0 deg/sec, V = 150 m/sec nel dominio α ∈ deg, β ∈ deg.

Si considera l’aereo manovrabile F-16 come esempio di oggetto simulato. I dati di partenza per esso sono stati presi dal rapporto , che presenta i risultati sperimentali ottenuti da prove in galleria del vento.

I seguenti valori particolari delle variabili corrispondenti in (6.6)-(6.13) sono stati adottati per la simulazione: la massa dell’aereo m=9295.44 kg; la luce dell’ala b=9.144 m; l’area dell’ala S=27.87 m2; la corda aerodinamica media dell’ala è c¯=3.45 m; momenti di inerzia Ix=12874.8 kg⋅m2, Iy=75673.6 kg⋅m2, Iz=85552.1 kg⋅m2, Ixz=1331.4 kg⋅m2, Ixy=Iyz=0 kg⋅m2; il centro di gravità è al 5% della corda aerodinamica media; costanti di tempo degli attuatori Te=Tr=Ta=0.025 sec; i coefficienti di smorzamento relativi per gli attuatori sono ζe=ζr=ζa=0.707.

Durante i processi transitori del moto angolare per l’aereo, la velocità dell’aria V e l’altitudine di volo H non cambiano significativamente. Quindi, li assumiamo come costanti e non includiamo le equazioni corrispondenti che descrivono il moto traslazionale nel modello. Negli esperimenti realizzati, abbiamo utilizzato i seguenti valori costanti: altitudine sul livello del mare H=3000 m; velocità dell’aria V=147,86 m/sec. Di conseguenza, le altre variabili, che dipendono solo dalle costanti V e H, hanno i seguenti valori: accelerazione gravitazionale g=9,8066 m/sec2; densità dell’aria ρ=0,8365 kg/m3; velocità locale del suono a=328,5763 m/sec; il numero di Mach della corrente libera M0=0,45; pressione dinamica dell’aria qp=9143.6389 kg⋅m-1 sec-2.

Nel modello (6.6)-(6.9), le 14 variabili p, q, r, ϕ, θ, ψ, α, β, δe, δr, δa, δ˙e, δ˙r, δ˙a rappresentano lo stato dell’oggetto controllato, e le altre tre variabili δeact, δract, δaact rappresentano i controlli. I valori delle variabili di controllo sono limitati ai seguenti intervalli: δeact∈ deg, δract∈ deg, δaact∈ deg per i segnali di comando agli attuatori dello stabilizzatore controllato, del timone e degli alettoni, rispettivamente.

Durante il processo di generazione del training set, così come durante il test del modello ANN semiempirico finale, le azioni di controllo sono state applicate all’aereo simultaneamente lungo tutti e tre i canali (ascensore, timone, alettoni). Abbiamo utilizzato i segnali di eccitazione poliarmonici δeact, δract, δaact per la generazione del training set e segnali di eccitazione casuali per la generazione del test set.

Gli esperimenti computazionali per il modello (6.6)-(6.9) sono stati eseguiti sull’intervallo di tempo t∈ sec nella fase di training del modello ANN e sull’intervallo t∈ sec nella fase di testing. In entrambi i casi abbiamo usato il periodo di campionamento Δt=0,02 sec e un vettore di stato parzialmente osservato y(t)=T. L’uscita del sistema y(t) è corrotta da un rumore additivo gaussiano con una deviazione standard σα=σβ=0.02 deg, σp=0.1 deg/sec, σq=σr=0.05 deg/sec.

Come nell’esempio precedente (Sezione 6.2), useremo la deviazione standard del rumore additivo che colpisce l’uscita del sistema come valore target dell’errore di simulazione. Eseguiamo l’addestramento della rete neurale LDDN utilizzando l’algoritmo di Levenberg-Marquardt per la minimizzazione della funzione obiettivo dell’errore quadratico medio valutato sul set di dati di addestramento {yi}, i=1,…,N, che è stato ottenuto utilizzando il modello teorico iniziale (6.6)-(6.9). La matrice Jacobi è calcolata utilizzando l’algoritmo RTRL. La strategia di apprendimento per il modello ANN si è basata sulla segmentazione del training set considerato nel Capitolo 5.

Il diagramma strutturale del modello semiempirico corrispondente al sistema (6.6)-(6.9) è piuttosto ingombrante e quindi non viene mostrato qui. Questo diagramma è concettualmente simile a quello mostrato in Fig. 6.5; tuttavia, include un numero molto più grande di elementi e connessioni tra loro. La maggior parte di questi elementi corrisponde ai termini aggiuntivi nel modello teorico iniziale e non contiene alcun parametro sintonizzabile sconosciuto. Inoltre, il modello ANN del sistema (6.6)-(6.9) contiene cinque moduli ANN di tipo black box che rappresentano dipendenze sconosciute per i coefficienti delle forze e dei momenti aerodinamici (Cy, Cz, Cl, Cn, Cm) da ricostruire, rispetto a solo due moduli (Cz, Cm) per il sistema (6..5).

È importante notare che poiché consideriamo il problema della modellazione del moto angolare di un aereo a breve periodo, possiamo assumere che l’altitudine H e la velocità dell’aria V siano costanti (queste variabili non cambiano significativamente durante il tempo transitorio). Questa assunzione ci permette di ridurre il modello teorico iniziale eliminando le equazioni differenziali per il moto traslazionale di un aereo così come le equazioni che descrivono la dinamica del motore. Tuttavia, questo porta anche alla mancanza di possibilità di controllare efficacemente la velocità del velivolo utilizzando la spinta del motore o la deflessione del freno a mano. Quindi, non possiamo ottenere un set di allenamento rappresentativo per il coefficiente di forza assiale Cx usando solo le deflessioni dello stabilizzatore, del timone e degli alettoni. Per superare questo problema, prima addestriamo il modulo ANN per Cx direttamente usando i dati della galleria del vento, separatamente dall’intero modello. Poi, incorporiamo questo modulo ANN nel modello semiempirico e “congeliamo” i suoi parametri (cioè, vietiamo la loro modifica durante l’addestramento del modello). Infine, eseguiamo l’addestramento del modello semiempirico per approssimare simultaneamente le funzioni sconosciute Cy, Cz, Cl, Cm, Cn.1

Se espandiamo il modello teorico iniziale (6.6)-(6.9) aggiungendo le equazioni per il moto traslazionale dell’aereo e le equazioni che descrivono la dinamica del motore, diventa possibile ricostruire tutte le sei funzioni Cx, Cy, Cz, Cl, Cm, Cn addestrando il modello semiempirico ANN. Questo problema è concettualmente simile, anche se l’addestramento del modello richiede un po’ più di tempo a causa dell’aumentata dimensionalità.

Come già notato, per garantire l’adeguatezza del modello ANN semiempirico che viene creato, abbiamo bisogno di un set di addestramento rappresentativo (informativo) che descriva la risposta dell’oggetto simulato ai segnali di controllo di un dato intervallo. Questi vincoli sui valori dei segnali di controllo, a loro volta, portano ai vincoli sui valori delle variabili di stato che descrivono il sistema. L’adeguatezza del modello progettato2 può essere garantita solo all’interno del corrispondente dominio di valori per le variabili di controllo e di stato, che è formato dai vincoli di cui sopra.

Al fine di espandere queste gamme di valori per le variabili di controllo e di stato fino all’intera area operativa del sistema simulato, dobbiamo sviluppare algoritmi appropriati per la generazione del modello. Uno degli approcci per risolvere questo problema si basa sui metodi di apprendimento incrementale per il modello ANN. Secondo questo approccio, inizialmente viene progettato solo il nucleo del modello che fornisce la precisione richiesta all’interno di un certo sottospazio dell’area operativa, e poi il dominio del modello viene iterativamente espanso, preservando il comportamento all’interno del sottodominio precedente.

Questo algoritmo è stato applicato con successo al problema dell’identificazione dei coefficienti aerodinamici per i cinque coefficienti sconosciuti Cy, Cz, Cl, Cm, Cn e l’orizzonte di previsione di 1000 passi temporali. I risultati della sperimentazione computazionale per questo problema sono presentati nella tabella 6.5 e nelle figure 6.9 e 6.10.

Tabella 6.5. Errore di simulazione sul test set per il modello semiempirico a diversi stadi di apprendimento.

Orizzonte di previsione	MSEα	MSEβ	MSEp	MSEr	MSEq
2	0.1376	0.2100	1.5238	0.4523	0.4517
4	0.1550	0.0870	0.5673	0.2738	0.4069
6	0.1647	0.0663	0.4270	0.2021	0.3973
9	0,1316	0,0183	0,1751	0,0530	0,2931
14	0.0533	0.0109	0.1366	0.0300	0.1116
21	0.0171	0.0080	0.0972	0.0193	0.0399
1000	0.0171	0.0080	0.0972	0.0193	0.0399

Figura 6.9. Valutazione della capacità di generalizzazione del modello ANN dopo la fase finale di apprendimento di 1000 passi: Eα, Eβ, Ep, Er, Eq sono gli errori di previsione per le corrispondenti variabili osservabili; le linee rette sui tre sottografi superiori mostrano i valori delle variabili di controllo corrispondenti alla manovra di prova (Da , usato con il permesso del Moscow Aviation Institute).

Figura 6.10. I valori dell’errore di riproduzione per i valori Cy, Cz, Cl, Cn, Cm secondo le dipendenze ricostruite per loro durante il test del modello semiempirico (fare riferimento agli intervalli di questi valori ottenuti durante il test) (Da , usato con il permesso del Moscow Aviation Institute).

L’analisi dei risultati di simulazione ottenuti ci permette di trarre le seguenti conclusioni.

La caratteristica più importante del modello generato è la sua capacità di generalizzare. Per i modelli di reti neurali, ciò significa di solito la capacità del modello di garantire la precisione desiderata non solo per i dati utilizzati per l’apprendimento del modello, ma anche per qualsiasi valore degli ingressi (in questo caso, le variabili di controllo e di stato) all’interno del dominio di interesse. Questo tipo di verifica viene eseguita sul set di dati di test che copre il suddetto dominio e non coincide con il set di dati di allenamento.

La soluzione efficace del problema di modellazione e identificazione dovrebbe garantire, in primo luogo, che la precisione di modellazione richiesta sia raggiunta in tutto il dominio di interesse per il modello e, in secondo luogo, che le caratteristiche aerodinamiche dell’aereo siano approssimate con la precisione desiderata.

Dai risultati presentati in Fig. 6.9 e Tabella 6.5, possiamo concludere che il primo di questi problemi è risolto con successo. La Fig. 6.9 dimostra che gli errori di previsione per tutte le variabili osservate sono insignificanti e che questi errori crescono molto lentamente nel tempo, il che indica buone proprietà di generalizzazione del modello ANN. Vale a dire, il modello non “cade a pezzi” con un orizzonte di predizione sufficientemente grande.

I test sono stati effettuati per un orizzonte di predizione di 40 sec, che è un intervallo di tempo sufficientemente lungo per il problema della modellazione del movimento di aerei a breve periodo. Dobbiamo sottolineare che il modello è stato testato in condizioni piuttosto rigide. Possiamo vedere dalla Fig. 6.9 che un lavoro molto attivo è svolto dalle superfici di controllo dell’aereo (stabilizzatore controllato, timone, alettoni), espresso nella frequente variazione del valore dei segnali di comando δeact, δract, δaact per gli attuatori delle superfici di controllo. In questa situazione, c’è una differenza significativa tra i valori adiacenti dei segnali di comando che sono stati generati casualmente. Lo scopo di questo metodo di generazione di un set di dati di prova è quello di fornire una grande varietà di stati per il sistema simulato (al fine di coprire il più uniformemente e densamente possibile l’intero spazio di stato del sistema), così come la varietà di cambiamenti negli stati vicini nel tempo (al fine di riflettere autenticamente nel modello ANN la dinamica del sistema simulato). Un ulteriore fattore di complicazione è che la successiva perturbazione in ingresso colpisce l’aereo prima che i processi di transizione da una o più perturbazioni precedenti si siano spenti.

La figura 6.9 caratterizza il modello finale dopo che la procedura di addestramento è già stata completata. I dati presentati nella tabella 6.5 ci permettono di analizzare la dinamica di accuratezza per questo modello durante l’addestramento.

L’accuratezza del modello è determinata da quanto accuratamente vengono ricostruite le funzioni non lineari che rappresentano le caratteristiche aerodinamiche dell’aereo. I dati in Fig. 6.9 caratterizzano l’effetto totale che gli errori delle approssimazioni di queste funzioni hanno sulla precisione delle previsioni di traiettoria date dal modello. Questi risultati possono essere considerati del tutto soddisfacenti. Tuttavia, è anche interessante analizzare quanto accuratamente sia stato risolto il problema dell’identificazione delle caratteristiche aerodinamiche.

Per rispondere a questa domanda, dobbiamo estrarre i moduli ANN corrispondenti alle funzioni approssimate Cy, Cz, Cl, Cn, Cm e poi confrontare i valori che essi producono con i dati sperimentali disponibili. Stime integrali della precisione possono essere ottenute, per esempio, con la funzione RMSE. Negli esperimenti di cui sopra abbiamo le seguenti stime di errore: RMSE=Cy5.4257⋅10-4, RMSE=Cz9.2759⋅10-4, RMSE=Cl2.1496⋅10-5, RMSE=Cm1.4952⋅10-4, RMSE=Cn1.3873⋅10-5. I valori dell’errore di riproduzione per le funzioni Cy, Cz, Cl, Cn, Cm per ogni istante di tempo durante il test del modello semiempirico sono mostrati in Fig. 6.10.