Querruderausschlag

6.3 Semiempirische Modellierung der dreiachsigen Drehbewegung eines Flugzeugs

Im vorigen Abschnitt haben wir die Wirksamkeit des semiempirischen Ansatzes zur ANN-Modellierung dynamischer Systeme demonstriert, indem wir ihn auf das Problem der longitudinalen Winkelbewegung des manövrierfähigen Flugzeugs angewendet haben. Diese Aufgabe ist aufgrund ihrer geringen Dimensionalität und, was noch wichtiger ist, aufgrund der Verwendung einer einkanaligen Steuerung (Pitch-Kanal, eine einzige Steuerfläche wird verwendet, nämlich ein voll beweglicher Stabilisator) relativ einfach. In diesem Abschnitt lösen wir ein viel komplizierteres Problem. Wir werden das ANN-Modell der dreiachsigen Rotationsbewegung (mit drei gleichzeitig verwendeten Steuerungen: Stabilisator, Seitenruder und Querruder) entwerfen und die Identifikation für fünf der sechs unbekannten aerodynamischen Koeffizienten durchführen.

Wie im vorherigen Fall ist das theoretische Modell für das zu lösende Problem das entsprechende traditionelle Modell der Flugzeugbewegung, das einige Unsicherheitsfaktoren enthält. Um die vorhandenen Unsicherheiten zu beseitigen, bilden wir das semiempirische ANN-Modell, das fünf Black-Box-Module enthält, die die Normal- und Seitenkraftkoeffizienten sowie die Nick-, Gier- und Rollmomentkoeffizienten darstellen, von denen jeder nichtlinear von mehreren Parametern der Flugzeugbewegung abhängt. Diese fünf Abhängigkeiten müssen aus den verfügbaren experimentellen Daten für die beobachteten Variablen des dynamischen Systems extrahiert (wiederhergestellt) werden, d.h. wir müssen das Identifikationsproblem für die aerodynamischen Eigenschaften des Flugzeugs lösen.

Der vorgeschlagene Ansatz zur Identifikation der aerodynamischen Eigenschaften eines Flugzeugs unterscheidet sich wesentlich von der traditionell akzeptierten Art, solche Probleme zu lösen. Der traditionelle Ansatz stützt sich nämlich auf die Verwendung eines linearisierten Modells der gestörten Bewegung eines Flugzeugs. In diesem Fall werden die Abhängigkeiten für die aerodynamischen Kräfte und Momente, die auf das Flugzeug wirken, in Form der Taylorreihenentwicklung dargestellt, die nach den Termen erster Ordnung (in seltenen Fällen nach den Termen zweiter Ordnung) abgeschnitten wird. In einem solchen Fall reduzieren wir die Lösung des Identifikationsproblems auf die Rekonstruktion der Koeffizienten der Taylor-Erweiterung unter Verwendung der experimentellen Daten. In dieser Expansion sind die dominanten Terme die partiellen Ableitungen der dimensionslosen Koeffizienten der aerodynamischen Kräfte und Momente bezüglich der verschiedenen Parameter der Flugzeugbewegung (Czα, Cyβ, Cmα, Cmq, usw.). Im Gegensatz dazu implementiert der semiempirische Ansatz die Rekonstruktion der Beziehungen für die Koeffizienten der Kräfte Cx, Cy, Cz und der Momente Cl, Cn, Cm als ganze nichtlineare Abhängigkeiten aus den entsprechenden Argumenten. Wir führen diese Rekonstruktion ohne Rückgriff auf eine Taylorreihenentwicklung für die aerodynamischen Koeffizienten durch. Das heißt, es werden die Funktionen Cx, Cy, Cz, Cl, Cn, Cm selbst geschätzt und nicht die Koeffizienten ihrer Reihenentwicklung. Wir stellen jede dieser Abhängigkeiten als ein separates ANN-Modul dar, das in das semiempirische Modell eingebettet ist. Wenn die Ableitungen Czα, Cyβ, Cmα, Cmq usw. für die Lösung einiger Probleme benötigt werden, z. B. für die Analyse der Stabilitätseigenschaften und der Steuerbarkeit eines Flugzeugs, können sie einfach mit den entsprechenden ANN-Modulen geschätzt werden, die bei der Generierung eines semiempirischen ANN-Modells erhalten werden (siehe auch das Ende des vorherigen Abschnitts).

Die folgende Notation wird für dieses Modell verwendet: p, r, q sind die Roll-, Gier- und Nickwinkelgeschwindigkeiten, deg/s; ϕ, ψ, θ sind die Roll-, Gier- und Nickwinkel, deg; α, β sind die Anstell- und Schiebewinkel, deg; δe, δr, δa sind die Auslenkungswinkel des gesteuerten Stabilisators, des Seitenruders und der Querruder, deg; δ˙e, δ˙r, δ˙a sind die Winkelgeschwindigkeiten der Auslenkung des gesteuerten Stabilisators, des Seitenruders und der Querruder, deg/s; V ist die Fluggeschwindigkeit, m/sec; δeact, δract, δaact sind die Befehlssignale an die Aktoren des gesteuerten Stabilisators, des Seitenruders und der Querruder, deg; Te, Tr, Ta sind die Zeitkonstanten für die Aktoren des gesteuerten Stabilisators, des Seitenruders und der Querruder, sec; ζe, ζr, ζa sind die relativen Dämpfungskoeffizienten für die Aktuatoren des gesteuerten Stabilisators, des Seitenruders und der Querruder, s; D, L, Y sind die Widerstands-, Auftriebs- und Seitenkräfte; L¯, M¯, N¯ sind die Roll-, Nick- und Giermomente; m ist die Masse des Flugzeugs, kg.

In den Gleichungen (6.11), (6.12) verwenden wir außerdem die folgende Notation: X¯, Y¯, Z¯ sind die aerodynamischen Axial-, Seiten- und Normalkräfte; S ist die Fläche des Flugzeugflügels, m2; b, c¯ sind die Spannweite und die mittlere aerodynamische Sehne des Flügels, m; qp ist der dynamische Luftdruck, kg⋅m-1sec-2. Außerdem bezeichnen Cx, Cy, Cz die dimensionslosen Koeffizienten der Axial-, Seiten- und Normalkräfte und Cl, Cm, Cn die dimensionslosen Koeffizienten der Roll-, Nick- und Giermomente. Alle diese aerodynamischen Koeffizienten sind nichtlineare Funktionen ihrer Argumente, wie in (6.11) und (6.12) aufgeführt.

Es ist zu beachten, dass die Abhängigkeiten der Koeffizienten der aerodynamischen Kräfte und insbesondere der aerodynamischen Momente von ihren jeweiligen Argumenten innerhalb des interessierenden Bereichs stark nichtlinear sind, was den Prozess der Identifizierung der aerodynamischen Eigenschaften für ein manövrierfähiges Flugzeug erheblich erschwert. Als Beispiel zeigen wir in Abb. 6.8 den Querschnitt der Hypersurface, gegeben durch die Funktion Cm=Cm(α,β,δe,q) bei δe∈{-25,0,25} deg, q=0 deg/sec innerhalb des Bereichs α∈ deg, β∈ deg.

Abbildung 6.8. Querschnitte der Hypersurface Cm = Cm(α,β,δe,q) für verschiedene Werte von δe bei q = 0 deg/sec, V = 150 m/sec im Bereich α ∈ deg, β ∈ deg.

Als Beispiel für ein simuliertes Objekt betrachten wir das manövrierfähige Flugzeug F-16. Die Quelldaten dafür wurden dem Bericht entnommen, der experimentelle Ergebnisse aus Windkanalversuchen darstellt.

Für die Simulation wurden folgende besondere Werte der entsprechenden Variablen in (6.6)-(6.13) angenommen: die Masse des Flugzeugs m=9295,44 kg; die Spannweite b=9,144 m; die Flügelfläche S=27,87 m2; die mittlere aerodynamische Sehne des Flügels ist c¯=3,45 m; die Trägheitsmomente Ix=12874.8 kg⋅m2, Iy=75673.6 kg⋅m2, Iz=85552.1 kg⋅m2, Ixz=1331.4 kg⋅m2, Ixy=Iyz=0 kg⋅m2; Schwerpunktsort ist 5% der mittleren aerodynamischen Sehne; Zeitkonstanten der Antriebe Te=Tr=Ta=0.025 sec; relative Dämpfungskoeffizienten für Aktoren sind ζe=ζr=ζa=0,707.

Während der transienten Vorgänge der Winkelbewegung für das Flugzeug ändern sich die Fluggeschwindigkeit V und die Flughöhe H nicht wesentlich. Daher nehmen wir sie als konstant an und beziehen die entsprechenden Gleichungen, die die translatorische Bewegung beschreiben, nicht in das Modell ein. In den durchgeführten Experimenten haben wir die folgenden konstanten Werte verwendet: Flughöhe H=3000 m; Fluggeschwindigkeit V=147,86 m/sec. Dementsprechend haben die anderen Variablen, die nur von den Konstanten V und H abhängen, folgende Werte: Fallbeschleunigung g=9,8066 m/sec2; Luftdichte ρ=0,8365 kg/m3; lokale Schallgeschwindigkeit a=328,5763 m/sec; die Freistrom-Machzahl M0=0,45; dynamischer Luftdruck qp=9143.6389 kg⋅m-1 sec-2.

Im Modell (6.6)-(6.9) repräsentieren die 14 Variablen p, q, r, ϕ, θ, ψ, α, β, δe, δr, δa, δ˙e, δ˙r, δ˙a den Zustand des geregelten Objekts, und die anderen drei Variablen δeact, δract, δaact die Regelungen. Die Werte der Steuervariablen sind auf die folgenden Bereiche beschränkt: δeact∈ deg, δract∈ deg, δaact∈ deg für die Befehlssignale an die Aktuatoren des gesteuerten Stabilisators, des Seitenruders bzw. der Querruder.

Während des Prozesses der Generierung des Trainingssets sowie während des Testens des endgültigen semiempirischen ANN-Modells wurden die Steueraktionen auf allen drei Kanälen (Höhenruder, Seitenruder, Querruder) gleichzeitig auf das Flugzeug angewendet. Wir verwendeten die polyharmonischen Anregungssignale δeact, δract, δaact für die Trainingsmengengenerierung und zufällige Anregungssignale für die Testmengengenerierung.

Die Berechnungsexperimente für das Modell (6.6)-(6.9) wurden in der Trainingsphase des ANN-Modells auf dem Zeitintervall t∈ sec und in der Testphase auf dem Intervall t∈ sec durchgeführt. In beiden Fällen verwendeten wir die Abtastperiode Δt=0,02 sec und einen teilweise beobachteten Zustandsvektor y(t)=T. Die Ausgabe des Systems y(t) ist durch ein additives Gaußsches Rauschen mit einer Standardabweichung σα=σβ=0,02 deg, σp=0,1 deg/sec, σq=σr=0,05 deg/sec verfälscht.

Wie im vorherigen Beispiel (Abschnitt 6.2) werden wir die Standardabweichung des additiven Rauschens, das die Ausgabe des Systems beeinflusst, als Zielwert des Simulationsfehlers verwenden. Wir führen das Training des neuronalen Netzes LDDN mit Hilfe des Levenberg-Marquardt-Algorithmus zur Minimierung der Zielfunktion des mittleren quadratischen Fehlers durch, die auf dem Trainingsdatensatz {yi}, i=1,…,N, ausgewertet wird, der mit Hilfe des anfänglichen theoretischen Modells (6.6)-(6.9) erhalten wurde. Die Jacobi-Matrix wird mit dem RTRL-Algorithmus berechnet. Die Lernstrategie für das ANN-Modell basiert auf der in Kapitel 5 betrachteten Segmentierung der Trainingsmenge.

Das Struktogramm des semiempirischen Modells, das dem System (6.6)-(6.9) entspricht, ist recht unhandlich und wird daher hier nicht gezeigt. Dieses Diagramm ist konzeptionell ähnlich wie das in Abb. 6.5 gezeigte; es enthält jedoch eine viel größere Anzahl von Elementen und Verbindungen zwischen ihnen. Die meisten dieser Elemente entsprechen den zusätzlichen Termen im ursprünglichen theoretischen Modell und enthalten keine unbekannten einstellbaren Parameter. Außerdem enthält das ANN-Modell des Systems (6.6)-(6.9) fünf ANN-Module vom Typ Black Box, die unbekannte Abhängigkeiten für die Koeffizienten der zu rekonstruierenden aerodynamischen Kräfte und Momente (Cy, Cz, Cl, Cn, Cm) darstellen, im Vergleich zu nur zwei Modulen (Cz, Cm) für das System (6.5).

Es ist wichtig anzumerken, dass wir, da wir das Problem der Modellierung der kurzperiodischen Winkelbewegung eines Flugzeugs betrachten, annehmen können, dass die Höhe H und die Fluggeschwindigkeit V konstant sind (diese Variablen ändern sich während der Einschwingzeit nicht wesentlich). Diese Annahme ermöglicht es uns, das anfängliche theoretische Modell zu reduzieren, indem wir die Differentialgleichungen für die Translationsbewegung eines Flugzeugs sowie die Gleichungen, die die Triebwerksdynamik beschreiben, eliminieren. Dies führt jedoch auch dazu, dass es keine Möglichkeit gibt, die Geschwindigkeit des Flugzeugs mit Hilfe des Triebwerksschubs oder der Auslenkung der Luftbremse effizient zu steuern. Daher können wir kein repräsentatives Trainingsset für den Axialkraftkoeffizienten Cx erhalten, indem wir nur die Ausschläge von Stabilisator, Seitenruder und Querruder verwenden. Um dieses Problem zu überwinden, trainieren wir zunächst das ANN-Modul für Cx direkt mit den Windkanal-Daten, getrennt vom Gesamtmodell. Dann betten wir dieses ANN-Modul in das semiempirische Modell ein und „frieren“ seine Parameter ein (d.h. wir verbieten ihre Änderung während des Modelltrainings). Schließlich führen wir ein Training für das semiempirische Modell durch, um die unbekannten Funktionen Cy, Cz, Cl, Cm, Cn gleichzeitig zu approximieren.1

Wenn wir das anfängliche theoretische Modell (6.6)-(6.9) um die Gleichungen für die Translationsbewegung des Flugzeugs sowie die Gleichungen, die die Motordynamik beschreiben, erweitern, wird es möglich, alle sechs Funktionen Cx, Cy, Cz, Cl, Cm, Cn durch das Training des semiempirischen ANN-Modells zu rekonstruieren. Dieses Problem ist konzeptionell ähnlich, obwohl das Training des Modells aufgrund der erhöhten Dimensionalität etwas zeitaufwändiger ist.

Wie bereits erwähnt, benötigen wir, um die Angemessenheit des zu erstellenden semiempirischen ANN-Modells sicherzustellen, eine repräsentative (informative) Trainingsmenge, die die Reaktion des simulierten Objekts auf Steuersignale aus einem bestimmten Bereich beschreibt. Diese Randbedingungen für die Werte der Steuersignale führen wiederum zu den Randbedingungen für die Werte der Zustandsvariablen, die das System beschreiben. Die Angemessenheit des entworfenen Modells2 kann nur innerhalb des entsprechenden Wertebereichs für Steuer- und Zustandsvariablen gewährleistet werden, der durch die oben genannten Nebenbedingungen gebildet wird.

Um diese Wertebereiche für Steuer- und Zustandsvariablen bis zum vollen Betriebsbereich des simulierten Systems zu erweitern, müssen wir geeignete Algorithmen zur Modellbildung entwickeln. Einer der Ansätze zur Lösung dieses Problems beruht auf den inkrementellen Lernmethoden für das ANN-Modell . Bei diesem Ansatz wird zunächst nur der Kern des Modells entworfen, der die erforderliche Genauigkeit innerhalb eines Unterraums des Betriebsbereichs liefert, und dann wird der Bereich des Modells iterativ erweitert, wobei das Verhalten innerhalb des vorherigen Unterbereichs beibehalten wird.

Dieser Algorithmus wurde erfolgreich auf das Problem der Identifizierung der aerodynamischen Koeffizienten für die fünf unbekannten Koeffizienten Cy, Cz, Cl, Cm, Cn und den Vorhersagehorizont von 1000 Zeitschritten angewendet. Die Ergebnisse der Rechenexperimente für dieses Problem sind in Tabelle 6.5 und in Abb. 6.9 und 6.10 dargestellt.

Tabelle 6.5. Simulationsfehler auf der Testmenge für das semiempirische Modell bei verschiedenen Lernstufen.

Prädiktionshorizont	MSEα	MSEβ	MSEp	MSEr	MSEq
2	0.1376	0.2100	1.5238	0.4523	0.4517
4	0.1550	0.0870	0.5673	0.2738	0.4069
6	0.1647	0.0663	0.4270	0.2021	0.3973
9	0.1316	0.0183	0.1751	0.0530	0.2931
14	0.0533	0.0109	0.1366	0.0300	0.1116
21	0.0171	0.0080	0.0972	0.0193	0.0399
1000	0.0171	0.0080	0.0972	0.0193	0.0399

Abbildung 6.9. Auswertung der Generalisierungsfähigkeit des ANN-Modells nach der abschließenden 1000-Schritte-Lernphase: Eα, Eβ, Ep, Er, Eq sind die Vorhersagefehler für die entsprechenden beobachtbaren Variablen; die Geraden in den drei oberen Teilgraphen zeigen die Werte der Kontrollvariablen, die dem Testmanöver entsprechen (aus , verwendet mit Genehmigung des Moskauer Luftfahrtinstituts).

Abbildung 6.10. Die Werte des Reproduktionsfehlers für die Werte Cy, Cz, Cl, Cn, Cm nach den rekonstruierten Abhängigkeiten für sie während der Prüfung des semiempirischen Modells (beziehen Sie sich auf die Bereiche dieser Werte, die während der Prüfung erhalten wurden) (Aus , verwendet mit Genehmigung des Moskauer Luftfahrtinstituts).

Die Analyse der erhaltenen Simulationsergebnisse erlaubt es uns, folgende Schlussfolgerungen zu ziehen.

Die wichtigste Eigenschaft des generierten Modells ist seine Fähigkeit zur Generalisierung. Für die Modelle des neuronalen Netzes bedeutet das in der Regel die Fähigkeit des Modells, die gewünschte Genauigkeit nicht nur für die Daten zu gewährleisten, die für das Lernen des Modells verwendet wurden, sondern auch für beliebige Werte der Eingänge (in diesem Fall die Steuer- und Zustandsvariablen) innerhalb des interessierenden Bereichs. Diese Art der Verifikation wird auf dem Testdatensatz durchgeführt, der die oben genannte Domäne abdeckt und nicht mit dem Trainingsdatensatz übereinstimmt.

Die erfolgreiche Lösung des Modellierungs- und Identifizierungsproblems sollte sicherstellen, dass erstens die geforderte Modellierungsgenauigkeit im gesamten interessierenden Bereich des Modells erreicht wird und zweitens die aerodynamischen Eigenschaften des Flugzeugs mit der gewünschten Genauigkeit approximiert werden.

Aus den in Abb. 6.9 und Tabelle 6.5 dargestellten Ergebnissen kann man schließen, dass das erste dieser Probleme erfolgreich gelöst wurde. Abb. 6.9 zeigt, dass die Vorhersagefehler für alle beobachteten Variablen unbedeutend sind und dass diese Fehler mit der Zeit sehr langsam wachsen, was auf gute Generalisierungseigenschaften des ANN-Modells hinweist. Das Modell „zerfällt“ nämlich nicht bei einem ausreichend großen Vorhersagehorizont.

Die Tests wurden für einen Vorhersagehorizont von 40 Sekunden durchgeführt, was ein ausreichend langes Zeitintervall für das Problem der Modellierung kurzperiodischer Flugzeugbewegungen ist. Wir müssen betonen, dass das Modell unter ziemlich strengen Bedingungen getestet wurde. Aus der Abb. 6.9 ist ersichtlich, dass die Steuerflächen des Flugzeugs (gesteuertes Stabilisator, Seitenruder, Querruder) eine sehr aktive Arbeit leisten, was sich in der häufigen Änderung des Wertes der Befehlssignale δeact, δract, δaact für die Aktoren der Steuerflächen ausdrückt. In dieser Situation gibt es einen signifikanten Unterschied zwischen benachbarten Werten der Befehlssignale, die zufällig erzeugt wurden. Der Zweck dieser Methode einer Testdatensatzerzeugung ist es, eine große Vielfalt an Zuständen für das simulierte System bereitzustellen (um möglichst gleichmäßig und dicht den gesamten Zustandsraum des Systems abzudecken), sowie die Vielfalt der Änderungen der benachbarten Zustände in der Zeit (um im ANN-Modell die Dynamik des simulierten Systems authentisch wiederzugeben). Erschwerend kommt hinzu, dass die nachfolgende Eingangsstörung auf das Flugzeug einwirkt, bevor die Übergangsprozesse aus einer oder mehreren vorangegangenen Störungen abgeklungen sind.

Abbildung 6.9 charakterisiert das endgültige Modell, nachdem der Trainingsvorgang bereits abgeschlossen ist. Die in Tabelle 6.5 dargestellten Daten erlauben es, die Genauigkeitsdynamik für dieses Modell während des Trainings zu analysieren.

Die Genauigkeit des Modells wird dadurch bestimmt, wie genau die nichtlinearen Funktionen, die die aerodynamischen Eigenschaften des Flugzeugs darstellen, rekonstruiert werden. Die Daten in Abb. 6.9 charakterisieren den Gesamteffekt, den die Fehler dieser Funktionsapproximationen auf die Genauigkeit der vom Modell gegebenen Trajektorienvorhersagen haben. Diese Ergebnisse können als völlig zufriedenstellend angesehen werden. Es ist jedoch auch von Interesse zu analysieren, wie genau das Problem der Identifikation der aerodynamischen Eigenschaften gelöst wurde.

Um diese Frage zu beantworten, müssen wir die ANN-Module extrahieren, die den approximierten Funktionen Cy, Cz, Cl, Cn, Cm entsprechen und dann die Werte, die sie liefern, mit den verfügbaren experimentellen Daten vergleichen. Integrale Schätzungen der Genauigkeit können z. B. mit der RMSE-Funktion erhalten werden. In den obigen Experimenten haben wir die folgenden Fehlerschätzungen: RMSE=Cy5.4257⋅10-4, RMSE=Cz9.2759⋅10-4, RMSE=Cl2.1496⋅10-5, RMSE=Cm1.4952⋅10-4, RMSE=Cn1.3873⋅10-5. Die Werte des Reproduktionsfehlers für die Funktionen Cy, Cz, Cl, Cn, Cm für die einzelnen Zeitpunkte bei der Prüfung des semiempirischen Modells sind in Abb. 6.10 dargestellt.