Pourquoi la racine carrée de 2 est irrationnelle
La racine carrée de 2
La racine carrée de 2 est-elle une fraction ?
Posons que oui, et voyons ce qui se passe.
Si c’est une fraction, alors nous devons pouvoir l’écrire sous forme de fraction simplifiée comme ceci :
m/n
(m et n sont tous deux des nombres entiers)
Et nous espérons qu’en la mettant au carré, nous obtiendrons 2 :
(m/n)2 = 2
ce qui revient à dire que
m2/n2 = 2
ou dit autrement, m2 est deux fois plus grand que n2 :
m2 = 2 × n2
Faites vous-même un essai
Voyez si vous pouvez trouver une valeur pour m et n qui fonctionne !
Exemple : essayons m=17 et n=12 :
m/n = 17/12
Lorsque nous mettons cela au carré, nous obtenons
172/122 = 289/144 = 2.0069444…
Ce qui est proche de 2, mais pas tout à fait exact
Vous pouvez voir que nous voulons vraiment que m2 soit deux fois n2 (289 est environ deux fois 144). Pouvez-vous faire mieux ?
Pair et impair
Maintenant, reprenons cette idée que m2 = 2 × n2
Cela signifie en fait que m2 doit être un nombre pair.
Pourquoi ? Parce que chaque fois que nous multiplions par un nombre pair (2 dans ce cas), le résultat est un nombre pair. Comme ceci :
| Opération | Résultat | Exemple |
|---|---|---|
| Even × Even | Even | 2 × 8 = 16 |
| Even × Odd | Even | 2 × 7 = 14 |
| Odd × Even | Even | 5 × 8 = 40 |
| Odd × Odd | Odd | 5 × 7 = 35 |
Et si m2 est pair, alors m doit être pair (si m était impair alors m2 est aussi impair). Donc :
m est pair
Et tous les nombres pairs sont un multiple de 2, donc m est un multiple de 2, donc m2 est un multiple de 4.
Et si m2 est un multiple de 4, alors n2 doit être un multiple de 2 (en se rappelant que m2/n2 = 2).
Et donc…
n est également pair
Mais attendez… si m et n sont tous deux pairs, on devrait pouvoir simplifier la fraction m/n.
Exemple : 2/12 peut être simplifié en 1/6
Mais nous avons déjà dit qu’il était simplifié….
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… et si ce n’est pas déjà simplifié, alors simplifions-le maintenant et recommençons. Mais cela donne toujours le même résultat : n et m sont tous deux pairs. Eh bien, c’est idiot – nous pouvons montrer que n et m sont toujours pairs, peu importe que nous ayons déjà simplifié la fraction. |
Donc, quelque chose est terriblement faux… cela doit être notre première hypothèse que la racine carrée de 2 est une fraction. Ce n’est pas possible.
Et donc la racine carrée de 2 ne peut pas être écrite comme une fraction.
Irrationnels
Nous appelons de tels nombres » irrationnels « , non pas parce qu’ils sont fous mais parce qu’ils ne peuvent pas être écrits comme un rapport (ou une fraction). Et on dit :
« La racine carrée de 2 est irrationnelle »
On pense que c’est le premier nombre irrationnel jamais découvert. Mais il y en a beaucoup d’autres.
Reductio ad absurdum
A propos, la méthode que nous avons utilisée pour prouver ceci (en faisant d’abord une hypothèse et en voyant ensuite si cela fonctionne bien) est appelée « preuve par contradiction » ou « reductio ad absurdum ».
Réduction par l’absurde : un type d’argument logique où l’on suppose une affirmation pour le bien de l’argumentation et où l’on dérive un résultat absurde ou ridicule, puis où l’on conclut que l’affirmation initiale devait être fausse puisqu’elle a conduit à un résultat absurde. (d’après Wikipédia)
Histoire
Il y a de nombreuses années (vers 500 avant JC), des mathématiciens grecs comme Pythagore croyaient que tous les nombres pouvaient être représentés sous forme de fractions.
Et ils pensaient que la droite numérique était entièrement constituée de fractions, car pour n’importe quelles deux fractions, on peut toujours trouver une fraction entre elles (on peut donc regarder de plus en plus près la droite numérique et trouver de plus en plus de fractions).
Exemple : entre 1/4 et 1/2, on trouve 1/3. Entre 1/3 et 1/2, c’est 2/5, entre 1/3 et 2/5, c’est 3/8, et ainsi de suite.
(Remarque : la façon simple de trouver une fraction entre deux autres fractions est d’ajouter les sommets et d’ajouter les creux, donc entre 3/8 et 2/5, c’est (3+2)/(8+5) = 5/13).
Donc, comme ce processus n’a pas de fin, il y a une infinité de ces points. Et cela semble remplir la ligne des nombres, n’est-ce pas ?
Et ils étaient très heureux de cela… jusqu’à ce qu’ils découvrent que la racine carrée de 2 n’était pas une fraction, et ils ont dû repenser complètement leurs idées !
Conclusion
La racine carrée de 2 est » irrationnelle » (ne peut pas être écrite comme une fraction) … parce que si elle pouvait être écrite comme une fraction, alors nous aurions le cas absurde où la fraction aurait des nombres pairs en haut et en bas et pourrait donc toujours être simplifiée.