Revue de calcul AP : La méthode de Newton

Souvent, lorsque nous essayons de trouver les racines d’une fonction, les méthodes algébriques que nous avons apprises dans les cours de mathématiques précédents sont soit fastidieuses, soit impossibles. La méthode de Newton nous permet de surmonter cette difficulté. Imaginez que vous essayez de trouver les racines de f(x) = x4 – 3×2 + 2x – 1. Nous savons que l’équation a soit 0, 2 ou 4 racines réelles, même si en la regardant simplement, cela ne serait pas évident.

Le graphique nous montre que l’équation a effectivement 2 racines, mais nous ne savons toujours pas quelles sont ces racines (bien que notre calculatrice graphique puisse résoudre cela pour nous ; voir notre post sur les stratégies de calculatrice pour l’examen AP Calculus pour en savoir plus).

La méthode de Newton est une méthode itérative pour trouver des racines approximatives d’équations.

La méthode de Newton ne donne généralement pas la réponse exacte, mais nous permettra de trouver des approximations très exactes. La première condition pour la méthode de Newton est que nous connaissions la dérivée de la fonction.

Promenons-nous dans un exemple pour montrer d’où vient la méthode de Newton.

Première étape : Faites une supposition aléatoire sur ce que pourrait être la racine. Choisissons x = 2 pour cette première supposition. Nous l’appellerons x0. En fonction de notre supposition initiale, notre méthode pourrait trouver la première ou la deuxième racine.

Deuxième étape : Trouver l’équation d’une droite tangente à la courbe au point x0.

Notez que notre ligne tangente a sa propre racine proche de la racine de notre équation originale. Il est facile de trouver la racine d’une fonction linéaire. Si nous prenons la racine de y = 22x-37, nous obtenons 37/22, soit environ 1,682. Ce n’est pas une approximation parfaite, mais c’est proche. Si nous devions répéter toute cette méthode, en utilisant x = 1,682 au lieu de x =2, nous obtiendrions une approximation encore plus proche.

Maintenant, il existe une formule rapide que vous pouvez dériver et qui nous donne notre séquence d’approximations de plus en plus précises.

En branchant x0 = 2, nous obtenons x1 = 1,682, exactement ce que nous avons trouvé ci-dessus. Si nous faisons cela plusieurs fois, nous voyons que nous nous rapprochons de plus en plus de notre racine :

x0 = 1,682
x1 = 1,51
x2 = 1,454
x3 = 1,448

Chaque étape nous rapproche de plus en plus de la racine. Nous n’y arriverons jamais parfaitement dans cet exemple, mais en 4 étapes, nous sommes à 0,001 près. Quelques pas de plus, et nous serions à quelques millionièmes de la bonne réponse.

La méthode de Newton est un moyen extrêmement efficace de trouver des racines approximatives aux équations. Elle fonctionne même si l’équation est incroyablement compliquée ou s’il serait impossible ou difficile de trouver algébriquement des racines exactes. Elle permet rarement d’obtenir une réponse exacte, mais elle nous permet de nous en approcher. Les méthodes numériques, comme la méthode de Newton, pour trouver les racines sont la façon dont de nombreux programmes informatiques (y compris de nombreuses calculatrices graphiques) trouvent les réponses aux équations. La condition requise pour la méthode de Newton est que vous connaissiez la dérivée de la fonction.

Maintenant, mettons-nous en pratique :

Prenez f(x) = x2 – 9. Vous savez que la réponse à cette équation est +/- 3. Essayez la méthode de Newton avec cette équation pour voir combien d’itérations il faut pour s’approcher à quelques milliers près de la bonne réponse.

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