Équations différentielles

À la fin du \(17\)ème siècle, le scientifique britannique Isaac Newton a étudié le refroidissement des corps. Des expériences ont montré que la vitesse de refroidissement est approximativement proportionnelle à la différence de température entre le corps chauffé et l’environnement. Ce fait peut être écrit sous la forme de la relation différentielle :

Comme \(Q = CT,\) où \(C\) est la capacité thermique du corps, on peut écrire :

L’équation différentielle donnée a pour solution la forme :

\

où \({T_0}\) désigne la température initiale du corps.

Problèmes résolus

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Solution.

D’abord, nous résolvons ce problème pour une température ambiante arbitraire, puis nous déterminons la température finale du corps lorsque la température ambiante est \(0^\circ.\)

À la fin de la première heure, le corps s’est refroidi à \(100^\circ.\) Par conséquent, nous pouvons écrire la relation suivante:

Après la \(2\)ième heure, la température du corps devient égale à \(X\) degrés:

On obtient ainsi le système de deux équations à trois inconnues : \({T_S},\) \(k\) et \(X:\)

Hence,

Alors la dépendance \(X\left( {{T_S}} \right)\) a la forme :

Si, par exemple, la température du milieu ambiant est de zéro degré, la température du corps \(X\) en \(2\) heures sera

Dans l’exemple donné, la valeur de \(X\) dépend de \({T_S}\) comme le montre la figure \(2.\)

.