Insieme di potenza
Un insieme può essere considerato come un’algebra che non ha operazioni non banali o equazioni definenti. Da questa prospettiva, l’idea dell’insieme di potenza di X come l’insieme dei sottoinsiemi di X si generalizza naturalmente alle sottoalgebre di una struttura algebrica o algebra.
L’insieme di potenza di un insieme, quando è ordinato per inclusione, è sempre un’algebra atomica booleana completa, e ogni algebra atomica booleana completa nasce come il reticolo di tutti i sottoinsiemi di qualche insieme. La generalizzazione alle algebre arbitrarie è che l’insieme delle sottoalgebre di un’algebra, sempre ordinato per inclusione, è sempre un reticolo algebrico, e ogni reticolo algebrico nasce come reticolo di sottoalgebre di qualche algebra. Quindi, da questo punto di vista, le subalgebre si comportano in modo analogo ai sottoinsiemi.
Tuttavia, ci sono due importanti proprietà dei sottoinsiemi che non si trasferiscono alle subalgebre in generale. In primo luogo, anche se i sottoinsiemi di un insieme formano un insieme (così come un reticolo), in alcune classi può non essere possibile organizzare le sottoalgebre di un’algebra come un’algebra stessa in quella classe, anche se possono sempre essere organizzate come un reticolo. In secondo luogo, mentre i sottoinsiemi di un insieme sono in biiezione con le funzioni da quell’insieme all’insieme {0,1} = 2, non c’è garanzia che una classe di algebre contenga un’algebra che possa svolgere il ruolo di 2 in questo modo.
Alcune classi di algebre godono di entrambe queste proprietà. La prima proprietà è più comune, il caso di averle entrambe è relativamente raro. Una classe che le ha entrambe è quella dei multigrafi. Dati due multigrafi G e H, un omomorfismo h: G → H consiste in due funzioni, una che mappa i vertici ai vertici e l’altra che mappa i bordi ai bordi. L’insieme HG degli omomorfismi da G a H può quindi essere organizzato come il grafo i cui vertici e bordi sono rispettivamente le funzioni di vertice e di bordo che appaiono in quell’insieme. Inoltre, i sottografi di un multigrafo G sono in biiezione con gli omomorfismi del grafo da G al multigrafo Ω definibile come il grafo diretto completo su due vertici (quindi quattro bordi, cioè due autocicli e altri due bordi che formano un ciclo) aumentato di un quinto bordo, cioè un secondo autociclo in uno dei vertici. Possiamo quindi organizzare i sottografi di G come il multigrafo ΩG, chiamato oggetto di potenza di G.
La particolarità di un multigrafo come algebra è che le sue operazioni sono unarie. Un multigrafo ha due tipi di elementi che formano un insieme V di vertici ed E di bordi, e ha due operazioni unarie s,t: E → V che danno i vertici sorgente (inizio) e destinazione (fine) di ogni bordo. Un’algebra le cui operazioni sono tutte unarie è chiamata presheaf. Ogni classe di presheaves contiene una presheaf Ω che gioca per le sottoalgebre il ruolo che 2 gioca per i sottoinsiemi. Una tale classe è un caso speciale della nozione più generale di topos elementare come una categoria chiusa (e per di più cartesianamente chiusa) che ha un oggetto Ω, chiamato sottooggetto classificatore. Sebbene il termine “oggetto potenza” sia talvolta usato come sinonimo di oggetto esponenziale YX, nella teoria dei topos si richiede che Y sia Ω.