AP Calculus Review: Newton’s Method

Vaak als we de wortels van een functie proberen te vinden, zijn de algebraïsche methodes die we in eerdere wiskundelessen leerden, ofwel vervelend ofwel onmogelijk. De methode van Newton stelt ons in staat dit te overwinnen. Stel je voor dat je de wortels probeert te vinden van f(x) = x4 – 3×2 + 2x – 1. We weten dat de vergelijking óf 0, óf 2, óf 4 reële wortels heeft, hoewel dat niet voor de hand zou liggen als we er alleen maar naar kijken.

De grafiek laat ons zien dat de vergelijking inderdaad 2 wortels heeft, maar we weten nog steeds niet zeker wat deze wortels zijn (hoewel onze grafische rekenmachine dit voor ons kan oplossen; zie ons bericht over rekenmachinestrategieën voor het AP Calculus Examen voor meer informatie).

De Methode van Newton is een iteratieve methode om bij benadering wortels van vergelijkingen te vinden.

De Methode van Newton geeft meestal niet het exacte antwoord, maar stelt ons wel in staat om zeer exacte benaderingen te vinden. De eerste vereiste voor de Methode van Newton is dat we de afgeleide van de functie kennen.

Laten we eens door een voorbeeld lopen om te laten zien waar de Methode van Newton vandaan komt.

Eerste stap: Doe een willekeurige gok naar wat de wortel zou kunnen zijn. Laten we x = 2 kiezen voor deze eerste gok. We noemen dit x0. Afhankelijk van onze eerste gok, kan onze methode de eerste of de tweede wortel vinden.

Tweede stap: Zoek de vergelijking van een lijn die raakt aan de kromme in het punt x0.

Merk op dat onze raaklijn zijn eigen wortel heeft dicht bij de wortel van onze oorspronkelijke vergelijking. Het is eenvoudig om de wortel van een lineaire functie te vinden. Als we de wortel nemen van y = 22x-37, krijgen we 37/22, wat ongeveer 1,682 is. Dit is geen perfecte benadering, maar het komt in de buurt. Als we deze hele methode herhalen met x = 1,682 in plaats van x = 2, krijgen we een nog betere benadering.

Nu is er een snelle formule die je kunt afleiden die ons onze opeenvolging van steeds nauwkeurigere benaderingen geeft.

Pluggen we x0 = 2 in, dan krijgen we x1 = 1,682, precies wat we hierboven vonden. Als we dit een paar keer doen, zien we dat we steeds dichter bij onze wortel komen:

x0 = 1,682
x1 = 1,51
x2 = 1,454
x3 = 1,448

Elke stap brengt ons dichter en dichter bij de wortel. In dit voorbeeld zullen we er nooit helemaal komen, maar binnen 4 stappen, zitten we binnen .001. Nog een paar stappen en we zitten op een miljoenste van het juiste antwoord.

De methode van Newton is een zeer efficiënte manier om bij benadering wortels van vergelijkingen te vinden. Het werkt zelfs als de vergelijking ongelooflijk ingewikkeld is of als het onmogelijk of moeilijk zou zijn om algebraïsch de exacte wortels te vinden. Het geeft zelden een exact correct antwoord, maar het stelt ons in staat om heel dichtbij te komen. Numerieke methoden, zoals de methode van Newton, om wortels te vinden, zijn de manier waarop veel computerprogramma’s (waaronder veel grafische rekenmachines) antwoorden op vergelijkingen vinden. De voorwaarde voor de methode van Newton is dat je de afgeleide van de functie kent.

Nu gaan we oefenen:

Neem f(x) = x2 – 9. Je weet dat het antwoord op deze vergelijking +/- 3 is. Probeer de Methode van Newton uit met deze vergelijking om te zien hoeveel iteraties er nodig zijn om binnen enkele duizenden van het juiste antwoord te komen.

Verbeter gegarandeerd je SAT of ACT score. Start vandaag nog je 1 week gratis proefversie van Magoosh SAT Prep of je 1 week gratis proefversie van Magoosh ACT Prep!