De Nyquist-Shannon Stelling: Understanding Sampled Systems
De moderne technologie zoals wij die kennen zou niet bestaan zonder analoog-digitaal- en digitaal-naar-analoog-omzetting. In feite zijn deze bewerkingen zo gewoon geworden dat het als een waarheid als een koe klinkt als men zegt dat een analoog signaal kan worden omgezet in digitaal en weer terug naar analoog zonder noemenswaardig verlies van informatie.
Maar hoe weten we dat dit inderdaad het geval is? Waarom is sampling een niet-destructieve bewerking, terwijl er zoveel signaalgedrag verloren lijkt te gaan dat we tussen de afzonderlijke samples waarnemen?
Hoe kunnen we in hemelsnaam beginnen met een signaal dat er zo uitziet:
En het digitaliseren tot dit:
En dan durven beweren dat het oorspronkelijke signaal kan worden hersteld zonder verlies van informatie?
De Nyquist-Shannon stelling
Zulk een bewering is mogelijk omdat het consistent is met een van de belangrijkste principes van de moderne elektrotechniek:
Als een systeem een analoog signaal uniform bemonstert met een snelheid die de hoogste frequentie van het signaal met ten minste een factor twee overschrijdt, kan het oorspronkelijke analoge signaal perfect worden hersteld uit de discrete waarden die door bemonstering worden geproduceerd.
Er valt nog veel meer over deze stelling te zeggen, maar laten we eerst eens proberen uit te vinden hoe we het moeten noemen.
Shannon? Nyquist? Kotelnikov? Whittaker?
Ik ben zeker niet de persoon om te beslissen wie de meeste eer toekomt voor het formuleren, demonstreren of uitleggen van de Shannon-Nyquist-Kotelnikov-Whittaker Theorie van Sampling en Interpolatie. Al deze vier personen waren op de een of andere manier prominent bij de zaak betrokken.
Het lijkt er echter wel op dat de rol van Harry Nyquist is uitgebreid tot voorbij zijn oorspronkelijke betekenis. Bijvoorbeeld, in Digital Signal Processing: Fundamentals and Applications van Tan en Jiang, wordt het hierboven genoemde principe aangeduid als de “Shannon sampling theorem,” en in Microelectronic Circuits van Sedra en Smith, vind ik de volgende zin: “Het feit dat we onze bewerkingen kunnen uitvoeren op een beperkt aantal monsters … terwijl we de details van het analoge signaal tussen de monsters negeren, is gebaseerd op … het bemonsteringstheorema van Shannon.”
Dus moeten we waarschijnlijk het gebruik van “het Nyquist bemonsteringstheorema” of “Nyquist’s bemonsteringstheorie” vermijden. Als we een naam moeten verbinden aan dit concept, stel ik voor dat we alleen Shannon gebruiken of zowel Nyquist als Shannon. En misschien is het zelfs tijd om over te stappen op iets anoniemers, zoals “Fundamental Sampling Theorem.”
Als u dit enigszins desoriënterend vindt, bedenk dan dat de hierboven genoemde sampling theorem iets anders is dan de Nyquist rate, die verderop in het artikel zal worden uitgelegd. Ik denk niet dat iemand probeert Nyquist van zijn rate te scheiden, dus we eindigen met een goed compromis: Shannon krijgt de stelling, en Nyquist krijgt de rate.
Bemonsteringstheorie in het Tijddomein
Als we de bemonsteringstheorema toepassen op een sinusoïde met frequentie fSIGNAL, moeten we de golfvorm bemonsteren op fSAMPLE ≥ 2fSIGNAL als we een perfecte reconstructie willen mogelijk maken. Een andere manier om dit te zeggen is dat wij ten minste twee monsters per sinusoïdecyclus nodig hebben. Laten we eerst proberen deze eis te begrijpen door in het tijdsdomein te denken.
In de volgende plot wordt de sinusoïde bemonsterd op een frequentie die veel hoger is dan de signaalfrequentie.
Elke cirkel vertegenwoordigt een bemonsteringsmoment, d.w.z, een precies moment waarop de analoge spanning wordt gemeten en in een getal wordt omgezet.
Om beter te kunnen visualiseren wat deze bemonsteringsprocedure ons heeft opgeleverd, kunnen we de bemonsteringswaarden plotten en ze vervolgens met rechte lijnen verbinden. De rechte lijn die in de volgende plot wordt getoond, lijkt precies op het oorspronkelijke signaal: de bemonsteringsfrequentie is zeer hoog ten opzichte van de signaalfrequentie, en de lijnsegmenten verschillen dan ook niet merkbaar van de overeenkomstige gebogen sinussegmenten.
Als we de bemonsteringsfrequentie verlagen, wijkt het uiterlijk van de rechte lijn-benadering af van het origineel.
20 monsters per cyclus (fSAMPLE = 20fSIGNAL)
10 monsters per cyclus (fSAMPLE = 10fSIGNAL)
10 monsters per cyclus (fSAMPLE = 10fSIGNAL)
5 monsters per cyclus (fSAMPLE = 5fSIGNAL)
Bij fSAMPLE = 5fSIGNAL, is de discrete-tijd golfvorm niet langer een fraaie weergave van de continue-tijd golfvorm. Merk echter op dat we nog steeds duidelijk de frequentie van de discrete-tijd golfvorm kunnen identificeren. De cyclische aard van het signaal is niet verloren gegaan.
De drempel: Twee Samples per Cyclus
De door bemonstering geproduceerde datapunten zullen het cyclische karakter van het analoge signaal blijven behouden naarmate we het aantal samples per cyclus beneden de vijf brengen. Uiteindelijk bereiken we echter een punt waarop de frequentie-informatie wordt aangetast. Bekijk de volgende grafiek eens:
2 monsters per cyclus (fSAMPLE = 2fSIGNAL)
Bij fSAMPLE = 2fSIGNAL is de sinusoïdale vorm volledig verdwenen. Niettemin heeft de driehoeksgolf die door de bemonsterde datapunten is ontstaan, de fundamentele cyclische aard van de sinusoïde niet veranderd. De frequentie van de driehoeksgolf is identiek aan de frequentie van het oorspronkelijke signaal.
Zodra we de bemonsteringsfrequentie echter verlagen tot het punt waarop er minder dan twee monsters per cyclus zijn, kan deze bewering niet langer worden gedaan. Twee samples per cyclus, voor de hoogste frequentie in de originele golfvorm, is daarom een kritisch belangrijke drempel in mixed-signal systemen, en de corresponderende samplefrequentie wordt de Nyquist rate genoemd:
Als we een analoog signaal samplen met een frequentie die lager is dan de Nyquist rate, zullen we niet in staat zijn om het originele signaal perfect te reconstrueren.
De volgende twee grafieken laten het verlies aan cyclische equivalentie zien dat optreedt wanneer de bemonsteringsfrequentie onder de Nyquist-rate daalt.
2 monsters per cyclus (fSAMPLE = 2fSIGNAL)
1.9 samples per cyclus (fSAMPLE = 1.9fSIGNAL)
Bij fSAMPLE = 1.9fSIGNAL heeft de discrete-tijd golfvorm een fundamenteel nieuw cyclisch gedrag gekregen. Volledige herhaling van het bemonsterde patroon vereist meer dan één sinusoïdecyclus.
Het effect van onvoldoende bemonsteringsfrequentie is echter wat moeilijk te interpreteren wanneer we 1,9 monsters per cyclus hebben. De volgende plot maakt de situatie duidelijker.
1,1 samples per cyclus (fSAMPLE = 1.1fSIGNAL)
Als u niets van een sinusoïde afwist en een analyse uitvoert met behulp van de discrete-tijd golfvorm die het resultaat is van bemonstering bij 1,1fSIGNAL, zou u ernstig verkeerde ideeën krijgen over de frequentie van het oorspronkelijke signaal. Bovendien, als u alleen maar de discrete gegevens hebt, is het onmogelijk om te weten dat de frequentiekarakteristieken zijn gecorrumpeerd. Door het bemonsteren is een nieuwe frequentie ontstaan die in het oorspronkelijke signaal niet aanwezig was, maar je weet niet dat deze frequentie er niet was.
Het komt hier op neer: Wanneer we samplen op frequenties onder de Nyquist-rate, gaat er permanent informatie verloren, en kan het oorspronkelijke signaal niet perfect worden gereconstrueerd.