Zbiór potęgowy
Zbiór może być traktowany jako algebra nie posiadająca nietrywialnych operacji lub równań definiujących. Z tej perspektywy idea zbioru potęgowego X jako zbioru podzbiorów X uogólnia się naturalnie na podalgebry struktury algebraicznej lub algebry.
Zbiór potęgowy zbioru, uporządkowany przez inkluzję, jest zawsze kompletną atomową algebrą Boole’a, a każda kompletna atomowa algebra Boole’a powstaje jako sieć wszystkich podzbiorów jakiegoś zbioru. Uogólnienie na dowolne algebry jest takie, że zbiór podalgebr algebry, ponownie uporządkowany przez inkluzję, jest zawsze algebraiczną siatką, a każda algebraiczna siatka powstaje jako siatka podalgebr jakiejś algebry. Tak więc pod tym względem, subalgebry zachowują się analogicznie do podzbiorów.
Jednakże, istnieją dwie ważne własności podzbiorów, które nie przenoszą się na subalgebry w ogóle. Po pierwsze, chociaż podzbiory zbioru tworzą zbiór (jak również kratę), to w niektórych klasach może nie być możliwe zorganizowanie podalgebr algebry jako samej algebry w tej klasie, chociaż zawsze mogą być zorganizowane jako kraty. Po drugie, podczas gdy podzbiory zbioru są w bijekcji z funkcjami z tego zbioru do zbioru {0,1} = 2, nie ma gwarancji, że klasa algebr zawiera algebrę, która może odgrywać rolę 2 w ten sposób.
Niektóre klasy algebr korzystają z obu tych własności. Pierwsza własność jest bardziej powszechna, przypadek posiadania obu jest stosunkowo rzadki. Jedną z klas, która posiada obie własności jest klasa multigrafów. Biorąc pod uwagę dwa multigrafy G i H, homomorfizm h: G → H składa się z dwóch funkcji, z których jedna odwzorowuje wierzchołki na wierzchołki, a druga odwzorowuje krawędzie na krawędzie. Zbiór HG homomorfizmów z G do H może być więc zorganizowany jako graf, którego wierzchołki i krawędzie są odpowiednio funkcjami wierzchołków i krawędzi występującymi w tym zbiorze. Ponadto, podgrafy multigrafu G są bijekcją z homomorfizmami grafu z G do multigrafu Ω definiowanego jako pełny graf skierowany na dwóch wierzchołkach (stąd cztery krawędzie, czyli dwie samopętle i dwie kolejne krawędzie tworzące cykl) powiększony o piątą krawędź, czyli drugą samopętlę w jednym z wierzchołków. Możemy zatem uporządkować podgrafy G jako multigraf ΩG, zwany obiektem potęgowym G.
Specyficzne dla multigrafu jako algebry jest to, że jego operacje są jednoargumentowe. Multigraf ma dwa rodzaje elementów tworzących zbiór V wierzchołków i E krawędzi, oraz ma dwie operacje jednoargumentowe s,t: E → V dające wierzchołki źródłowe (początkowy) i docelowe (końcowy) każdej krawędzi. Algebrę, której wszystkie operacje są jednoargumentowe nazywamy presheafem. Każda klasa presheafów zawiera presheaf Ω, który dla podalgebr pełni taką rolę jak 2 dla podzbiorów. Klasa taka jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnego pojęcia elementarnego toposu jako kategorii zamkniętej (a ponadto domkniętej kartezjańsko) i posiadającej obiekt Ω, zwany klasyfikatorem podobiektów. Choć termin „obiekt potęgowy” jest czasem używany synonimicznie z obiektem wykładniczym YX, to w teorii toposów wymaga się, by Y był Ω.