Conjunto de potência
Um conjunto pode ser considerado como uma álgebra sem operações não triviais ou equações definidoras. Nesta perspectiva, a ideia do conjunto de potências de X como o conjunto de subconjuntos de X generaliza-se naturalmente às subalgebras de uma estrutura algébrica ou álgebra.
O conjunto de potências de um conjunto, quando ordenado por inclusão, é sempre uma álgebra atómica booleana completa, e cada álgebra atómica booleana completa surge como a malha de todos os subconjuntos de algum conjunto. A generalização a álgebras arbitrárias é que o conjunto de subalgebras de uma álgebra, novamente ordenado por inclusão, é sempre uma malha algébrica, e cada malha algébrica surge como a malha de subalgebras de alguma álgebra. Assim, nesse aspecto, as subalgebras comportam-se analogamente a subconjuntos.
No entanto, existem duas propriedades importantes dos subconjuntos que não se transportam para as subalgebras em geral. Primeiro, embora os subconjuntos de um conjunto formem um conjunto (bem como uma malha), em algumas classes pode não ser possível organizar as subalgebras de uma álgebra como ela própria uma álgebra nessa classe, embora elas possam sempre ser organizadas como uma malha. Em segundo lugar, enquanto os subconjuntos de um conjunto estão em bijecção com as funções desse conjunto para o conjunto {0,1} = 2, não há garantia de que uma classe de álgebras contenha uma álgebra que possa desempenhar o papel de 2 desta forma.
Determinadas classes de álgebras gozam de ambas as propriedades. A primeira propriedade é mais comum, o caso de ter ambas é relativamente raro. Uma classe que tem ambas é a dos multigráficos. Tendo em conta dois multigráficos G e H, um homomorfismo h: G → H consiste em duas funções, uma de mapear vértices a vértices e a outra de mapear arestas a arestas. O conjunto HG de homomorfismos de G a H pode então ser organizado como o gráfico cujos vértices e arestas são respectivamente as funções de vértice e aresta que aparecem nesse conjunto. Além disso, os subgrafos de um multigrafo G estão em bijecção com os homomorfismos do gráfico de G ao multigrafo Ω definível como o gráfico dirigido completo em dois vértices (daí quatro arestas, nomeadamente dois autolaços e mais duas arestas formando um ciclo) aumentado com uma quinta aresta, nomeadamente um segundo autolaço num dos vértices. Podemos portanto organizar os subgrafos de G como o multigrafo ΩG, chamado objecto de potência de G.
O que é especial num multigrafo como álgebra é que as suas operações são unárias. Um multigrafo tem dois tipos de elementos formando um conjunto V de vértices e E de bordas, e tem duas operações unárias s,t: E → V dando a fonte (início) e o alvo (fim) dos vértices de cada aresta. Uma álgebra cujas operações são todas unárias é chamada de pré-folha. Cada classe de pré-folha contém uma pré-folha Ω que desempenha o papel de subalgebras que 2 desempenham para subconjuntos. Tal classe é um caso especial da noção mais geral de topos elementares como uma categoria que é fechada (e além disso cartesiana fechada) e tem um objecto Ω, chamado classificador de subobjecto. Embora o termo “objecto de poder” seja por vezes utilizado como sinónimo de objecto exponencial YX, na teoria do topos Y é necessário ser Ω.