Revisión de Cálculo AP: Método de Newton

A menudo, cuando intentamos encontrar las raíces de una función, los métodos algebraicos que aprendimos en las clases de matemáticas anteriores son tediosos o imposibles. El método de Newton nos permite superar esto. Imagina que intentas encontrar las raíces de f(x) = x4 – 3×2 + 2x – 1. Sabemos que la ecuación tiene 0, 2 o 4 raíces reales, aunque sólo con mirarla, esto no sería obvio.

La gráfica nos muestra que la ecuación tiene efectivamente 2 raíces, pero aún no estamos seguros de cuáles son estas raíces (aunque nuestra calculadora gráfica puede resolver esto por nosotros; ver nuestro post sobre Estrategias de cálculo para el examen de cálculo AP para más información).

El Método de Newton es un método iterativo para encontrar raíces aproximadas de ecuaciones.

El Método de Newton no suele dar la respuesta exacta, pero nos permitirá encontrar aproximaciones muy exactas. El primer requisito para el Método de Newton es que conozcamos la derivada de la función.

Vamos a recorrer un ejemplo para mostrar de dónde viene el Método de Newton.

Primer paso: Tomar una conjetura al azar en cuanto a lo que podría ser la raíz. Elijamos x = 2 para esta primera suposición. Lo llamaremos x0. Dependiendo de nuestra suposición inicial, nuestro método podría encontrar la primera o la segunda raíz.

Segundo paso: Encontrar la ecuación de una recta tangente a la curva en el punto x0.

Nota que nuestra recta tangente tiene su propia raíz cerca de la raíz de nuestra ecuación original. Es fácil encontrar la raíz de una función lineal. Si tomamos la raíz de y = 22x-37, obtenemos 37/22, que es aproximadamente 1,682. No es una aproximación perfecta, pero se acerca. Si repitiéramos todo este método, usando x = 1,682 en lugar de x =2, obtendríamos una aproximación aún más cercana.

Ahora hay una fórmula rápida que puedes derivar que nos da nuestra secuencia de aproximaciones cada vez más precisas.

Colocando x0 = 2, obtenemos x1 = 1,682, exactamente lo que encontramos arriba. Si hacemos esto unas cuantas veces, vemos que nos acercamos cada vez más a nuestra raíz:

x0 = 1,682
x1 = 1,51
x2 = 1,454
x3 = 1,448

Cada paso nos acerca más y más a la raíz. En este ejemplo nunca llegaremos a la perfección, pero en 4 pasos nos hemos acercado a 0,001. Unos pocos pasos más, y estaríamos a millonésimas de la respuesta correcta.

El Método de Newton es una forma extremadamente eficiente de encontrar raíces aproximadas a las ecuaciones. Funciona incluso si la ecuación es increíblemente complicada o sería imposible o difícil encontrar algebraicamente las raíces exactas. Rara vez consigue una respuesta correcta exacta, pero nos permite acercarnos mucho. Los métodos numéricos, como el método de Newton, para encontrar las raíces son la forma en que muchos programas de ordenador (incluidas muchas calculadoras gráficas) encuentran las respuestas a las ecuaciones. El requisito para el método de Newton es conocer la derivada de la función.

Ahora vamos a practicar:

Toma f(x) = x2 – 9. Sabes que la respuesta a esta ecuación es +/- 3. Prueba el método de Newton con esta ecuación para ver cuántas iteraciones se necesitan para estar a unos pocos miles de la respuesta correcta.

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