Ensemble de puissance
Un ensemble peut être considéré comme une algèbre n’ayant aucune opération non triviale ou équations de définition. Dans cette perspective, l’idée de l’ensemble de puissance de X comme l’ensemble des sous-ensembles de X se généralise naturellement aux sous-algèbres d’une structure algébrique ou d’une algèbre.
L’ensemble de puissance d’un ensemble, lorsqu’il est ordonné par inclusion, est toujours une algèbre de Boole atomique complète, et toute algèbre de Boole atomique complète se présente comme le treillis de tous les sous-ensembles d’un certain ensemble. La généralisation aux algèbres arbitraires est que l’ensemble des sous-algèbres d’une algèbre, à nouveau ordonné par inclusion, est toujours un treillis algébrique, et tout treillis algébrique se présente comme le treillis des sous-algèbres d’une certaine algèbre. Donc, à cet égard, les sous-algèbres se comportent de manière analogue aux sous-ensembles.
Cependant, il existe deux propriétés importantes des sous-ensembles qui ne se reportent pas sur les sous-algèbres en général. Premièrement, bien que les sous-ensembles d’un ensemble forment un ensemble (ainsi qu’un treillis), dans certaines classes, il peut ne pas être possible d’organiser les sous-algèbres d’une algèbre comme étant elle-même une algèbre dans cette classe, bien qu’elles puissent toujours être organisées comme un treillis. Deuxièmement, alors que les sous-ensembles d’un ensemble sont en bijection avec les fonctions de cet ensemble vers l’ensemble {0,1} = 2, il n’y a aucune garantie qu’une classe d’algèbres contienne une algèbre qui puisse jouer le rôle de 2 de cette façon.
Certaines classes d’algèbres bénéficient de ces deux propriétés. La première propriété est plus courante, le cas de posséder les deux est relativement rare. Une classe qui possède les deux est celle des multigraphes. Étant donné deux multigraphes G et H, un homomorphisme h : G → H consiste en deux fonctions, l’une faisant correspondre les sommets aux sommets et l’autre les arêtes aux arêtes. L’ensemble HG des homomorphismes de G à H peut alors être organisé comme le graphe dont les sommets et les arêtes sont respectivement les fonctions de sommets et d’arêtes apparaissant dans cet ensemble. De plus, les sous-graphes d’un multigraphe G sont en bijection avec les homomorphismes de G vers le multigraphe Ω définissable comme le graphe orienté complet sur deux sommets (donc quatre arêtes, à savoir deux auto-boucles et deux autres arêtes formant un cycle) augmenté d’une cinquième arête, à savoir une deuxième auto-boucle à l’un des sommets. Nous pouvons donc organiser les sous-graphes de G comme le multigraphe ΩG, appelé l’objet puissance de G.
Ce qui est spécial à propos d’un multigraphe en tant qu’algèbre est que ses opérations sont unaires. Un multigraphe possède deux sortes d’éléments formant un ensemble V de sommets et E d’arêtes, et possède deux opérations unaires s,t : E → V donnant les sommets source (début) et cible (fin) de chaque arête. Une algèbre dont toutes les opérations sont unaires est appelée un présheaf. Toute classe de présheaves contient un présheaf Ω qui joue pour les sous-algèbres le rôle que 2 joue pour les sous-ensembles. Une telle classe est un cas particulier de la notion plus générale de topos élémentaire comme une catégorie qui est fermée (et de plus fermée cartésienne) et qui possède un objet Ω, appelé classificateur de sous-objets. Bien que le terme « objet puissance » soit parfois utilisé comme synonyme d’objet exponentiel YX, dans la théorie des topos, Y est requis pour être Ω.