Esperimento / distribuzione binomiale negativa: Definizione, Esempi

Teorema binomiale > Esperimento del binomio negativo

Immagine: UCSF

L’esperimento binomiale negativo è quasi lo stesso di un esperimento binomiale con una differenza: un esperimento binomiale ha un numero fisso di prove.

Se le seguenti cinque condizioni sono vere l’esperimento è binomiale:

1. Numero fisso di n prove.
2. Ogni prova è indipendente.
3. Sono possibili solo due risultati (successo e fallimento).
4. La probabilità di successo (p) per ogni prova è costante.
5. Una variabile casuale Y= il numero di successi.

Esempio: Prendete un mazzo di carte standard, mischiatelo e scegliete una carta. Sostituite la carta e ripetete venti volte. Y è il numero di assi pescati.

Il binomio negativo è simile al binomio con due differenze (in particolare ai numeri 1 e 5 della lista precedente):

• Il numero di prove, n non è fisso.
• Una variabile casuale Y= il numero di prove necessarie per fare r successi.

Esempio: Prendete un mazzo di carte standard, mischiatelo e scegliete una carta. Sostituisci la carta e ripeti fino a quando non hai estratto due assi. Y è il numero di estrazioni necessarie per pescare due assi. Poiché il numero di prove non è fisso (cioè ci si ferma quando si estrae il secondo asso), questo la rende una distribuzione binomiale negativa.

Che cos’è una distribuzione binomiale negativa?

Una distribuzione binomiale negativa (chiamata anche distribuzione Pascal) è una distribuzione di probabilità discreta per variabili casuali in un esperimento binomiale negativo.

La variabile casuale è il numero di prove ripetute, X, che producono un certo numero di successi, r. In altre parole, è il numero di fallimenti prima di un successo. Questa è la differenza principale dalla distribuzione binomiale: con una distribuzione binomiale regolare, si guarda il numero di successi. Con una distribuzione binomiale negativa, è il numero di fallimenti che conta.

Perché si chiama binomiale negativa?

Quando si sente il termine negativo, si potrebbe pensare che una distribuzione positiva viene capovolta sull’asse x, rendendola negativa. Tuttavia, la parte “negativa” del binomio negativo deriva in realtà dal fatto che un aspetto della distribuzione binomiale è invertito: in un esperimento binomiale, si conta il numero di successi in un numero fisso di prove; nell’esempio precedente, si contano quanti assi si pescano. In un esperimento binomiale negativo, stai contando i fallimenti, o quante carte ti servono per prendere due assi.

La formula binomiale negativa

Probabilità:
b*(x; r, P) = x-1Cr-1 * Pr * (1 – P)x – r
dove x=numero di prove
r = successi

Media:
μ = r / P
dove r è il numero di prove
P=probabilità di successo per ogni prova

Risolvere i problemi dell’esperimento della binomiale negativa

La pmf per la distribuzione binomiale negativa è:

dove:
r è il numero di successi e
p = la probabilità di successo.

Domanda campione: State intervistando le persone che escono da una cabina elettorale e chiedete loro se hanno votato in modo indipendente. La probabilità (p) che una persona abbia votato indipendente è del 20%. Qual è la probabilità che si debba chiedere a 15 persone prima di trovare 5 persone che hanno votato indipendente?

Passo 1: trovare p, r e X.
Ci viene dato (nella domanda) che p = 20%(.2) e r = 5. Il numero di fallimenti, X, è 15 – 5 = 10.

Passo 2: Inserire questi valori dal Passo 1 nella formula:

Passo 3: Risolvere. La prima parte (14 su 4) è una combinazione (usa la nostra calcolatrice di combinazioni per trovare 14 scegli 4).
1001*.25*.810 = 0.034.

La probabilità che dovrai chiedere a 15 persone di ottenere 5 voti per l’indipendente è .034, o 3.4%.

La distribuzione geometrica è un caso speciale della distribuzione binomiale negativa.

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