Perché la radice quadrata di 2 è irrazionale
La radice quadrata di 2
La radice quadrata di 2 è una frazione?
Se è una frazione, allora dobbiamo essere in grado di scriverla come una frazione semplificata come questa:
m/n
(m e n sono entrambi numeri interi)
E speriamo che al quadrato otteniamo 2:
(m/n)2 = 2
che è la stessa cosa di
m2/n2 = 2
o detto altrimenti, m2 è il doppio di n2:
m2 = 2 × n2
Prova anche tu
Vedi se riesci a trovare un valore per m e n che funzioni!
Esempio: proviamo m=17 e n=12:
m/n = 17/12
Quando lo squadriamo otteniamo
172/122 = 289/144 = 2.0069444…
Che è vicino a 2, ma non del tutto corretto
Vedi che vogliamo che m2 sia il doppio di n2 (289 è circa il doppio di 144). Puoi fare di meglio?
Pari e dispari
Ora, riprendiamo questa idea che m2 = 2 × n2
In realtà significa che m2 deve essere un numero pari.
Perché? Perché ogni volta che moltiplichiamo per un numero pari (2 in questo caso) il risultato è un numero pari. In questo modo:
| Operazione | Risultato | Esempio |
|---|---|---|
| Pari × Pari | Pari | 2 × 8 = 16 |
| Pari × Dispari | Pari | 2 × 7 = 14 |
| Odd × Even | Even | 5 × 8 = 40 |
| Pari × Dispari | Pari | 5 × 7 = 35 |
E se m2 è pari, allora m deve essere pari (se m era dispari allora anche m2 è dispari). Quindi:
m è pari
E tutti i numeri pari sono un multiplo di 2, quindi m è un multiplo di 2, quindi m2 è un multiplo di 4.
E se m2 è un multiplo di 4, allora n2 dovrebbe essere un multiplo di 2 (ricordando che m2/n2 = 2).
E allora…
n è anche pari
Ma aspetta… se sia m che n sono pari, dovremmo poter semplificare la frazione m/n.
esempio: 2/12 può essere semplificato in 1/6
Ma abbiamo già detto che è stato semplificato …
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… e se non è già semplificato, allora semplifichiamo ora e ricominciamo. Ma questo ottiene ancora lo stesso risultato: sia n che m sono pari. Bene, questo è stupido – possiamo dimostrare che sia n che m sono sempre pari, non importa se abbiamo già semplificato la frazione. |
Quindi c’è qualcosa di terribilmente sbagliato… deve essere la nostra prima assunzione che la radice quadrata di 2 sia una frazione. Non può esserlo.
E quindi la radice quadrata di 2 non può essere scritta come frazione.
Irrational
Chiamiamo tali numeri “irrazionali”, non perché siano pazzi ma perché non possono essere scritti come rapporto (o frazione). E diciamo:
“La radice quadrata di 2 è irrazionale”
Si pensa che sia il primo numero irrazionale mai scoperto. Ma ce ne sono molti altri.
Reduzione ad absurdum
A proposito, il metodo che abbiamo usato per dimostrare questo (facendo prima una supposizione e poi vedendo se funziona bene) si chiama “prova per contraddizione” o “reductio ad absurdum”.
Reduzione ad absurdum: un tipo di argomentazione logica in cui si assume un’affermazione per il gusto di discutere e si ottiene un risultato assurdo o ridicolo, e poi si conclude che l’affermazione originale deve essere stata sbagliata perché ha portato a un risultato assurdo. (da Wikipedia)
Storia
Molti anni fa (intorno al 500 a.C.) i matematici greci come Pitagora credevano che tutti i numeri potessero essere mostrati come frazioni.
E pensavano che la linea dei numeri fosse fatta interamente di frazioni, perché per qualsiasi due frazioni possiamo sempre trovare una frazione in mezzo ad esse (quindi possiamo guardare sempre più da vicino la linea dei numeri e trovare sempre più frazioni).
Esempio: tra 1/4 e 1/2 c’è 1/3. Tra 1/3 e 1/2 è 2/5, tra 1/3 e 2/5 è 3/8, e così via.
(Nota: il modo più semplice per trovare una frazione tra due altre frazioni è sommare i vertici e aggiungere i fondi, quindi tra 3/8 e 2/5 è (3+2)/(8+5) = 5/13).
Quindi, poiché questo processo non ha fine, ci sono infiniti punti simili. E questo sembra riempire la linea dei numeri, no?
E loro erano molto contenti di questo… finché non hanno scoperto che la radice quadrata di 2 non è una frazione, e hanno dovuto ripensare completamente le loro idee!
Conclusione
La radice quadrata di 2 è “irrazionale” (non può essere scritta come frazione) … perché se potesse essere scritta come frazione allora avremmo il caso assurdo che la frazione avrebbe numeri pari sia in alto che in basso e quindi potrebbe sempre essere semplificata.