Differentiaalvergelijkingen
Aan het eind van de (17e) eeuw bestudeerde de Britse wetenschapper Isaac Newton de afkoeling van lichamen. Experimenten toonden aan dat de afkoelsnelheid ongeveer evenredig is met het temperatuurverschil tussen het verhitte lichaam en de omgeving. Dit feit kan worden geschreven als de differentiaalvergelijking:
Als Q = CT,\) waar \(C\) de warmtecapaciteit van het lichaam is, kunnen we schrijven:
De gegeven differentiaalvergelijking heeft de oplossing in de vorm:
waarbij \({T_0}\) de begintemperatuur van het lichaam aangeeft.
Opgeloste problemen
Klik of tik op een probleem om de oplossing te zien.
Oplossing.
Eerst lossen we dit probleem op voor een willekeurige omgevingstemperatuur en dan bepalen we de uiteindelijke lichaamstemperatuur als de omgevingstemperatuur 0 ^circ.^ is
Aan het eind van het eerste uur is het lichaam afgekoeld tot 100 ^circ.^.\Daarom kunnen we het volgende verband schrijven:
Na het tweede uur is de lichaamstemperatuur gelijk aan \(X\) graden:
Dus krijgen we het stelsel van twee vergelijkingen met drie onbekenden: \({T_S},\) \(k\) en \(X:\)
Hieruit volgt,
Dan heeft de afhankelijkheid \(X}left( {{T_S}} \right)\) de vorm:
Als bijvoorbeeld de omgevingstemperatuur nul graden is, dan zal de lichaamstemperatuur \(X\) in \(2) uur
In het gegeven voorbeeld hangt de waarde van \(X\) af van \({T_S}} zoals weergegeven in figuur \(2.
