Negatief Binomiaal Experiment / Distributie: Definitie, Voorbeelden

Binomiaal Stelling > Negatief Binomiaal Experiment

Afbeelding: UCSF

Het negatieve binomiale experiment is bijna hetzelfde als een binomiaal experiment met één verschil: een binomiaal experiment heeft een vast aantal proeven.

Als de volgende vijf voorwaarden waar zijn, is het experiment binomiaal:

1. Vast aantal n proeven.
2. Elke proef is onafhankelijk.
3. Er zijn slechts twee uitkomsten mogelijk (succes en mislukking).
4. Kans op succes (p) voor elke proef is constant.
5. Een willekeurige variabele Y= het aantal successen.

Voorbeeld: Neem een standaardspel kaarten, schud ze, en kies een kaart. Vervang de kaart en herhaal dit twintig keer. Y is het aantal azen dat je trekt.

Het negatieve binomium lijkt op het binomium met twee verschillen (specifiek naar de nummers 1 en 5 in de lijst hierboven):

• Het aantal proeven, n ligt niet vast.
• Een willekeurige variabele Y= het aantal proeven dat nodig is om r successen te behalen.

Voorbeeld: Neem een standaardspel kaarten, schud ze, en kies een kaart. Vervang de kaart en herhaal tot je twee azen hebt getrokken. Y is het aantal trekkingen dat nodig is om twee azen te trekken. Omdat het aantal trekkingen niet vastligt (d.w.z. je stopt als je de tweede aas trekt), is er sprake van een negatieve binomiale verdeling.

Wat is een negatieve binomiale verdeling?

Een negatieve binomiale verdeling (ook wel de Pascal-verdeling genoemd) is een discrete kansverdeling voor willekeurige variabelen in een negatief binomiaal experiment.

De willekeurige variabele is het aantal herhaalde proeven, X, dat een bepaald aantal successen, r, oplevert. Met andere woorden, het is het aantal mislukkingen vóór een succes. Dit is het belangrijkste verschil met de binomiale verdeling: bij een gewone binomiale verdeling kijk je naar het aantal successen. Bij een negatieve binomiale verdeling gaat het om het aantal mislukkingen.

Waarom heet het Negatief Binomiaal?

Als je de term negatief hoort, denk je misschien dat een positieve verdeling wordt omgedraaid over de x-as, waardoor hij negatief wordt. Maar het “negatieve” deel van negatief binomiaal komt eigenlijk voort uit het feit dat één facet van de binomiale verdeling wordt omgedraaid: in een binomiaal experiment tel je het aantal geslaagden in een vast aantal proeven; in het bovenstaande voorbeeld tel je hoeveel azen je trekt. In een negatief binomiaal experiment tel je de Mislukkingen, oftewel het aantal kaarten dat je nodig hebt om twee azen te trekken.

De negatieve binomiale formule

Kans:
b*(x; r, P) = x-1Cr-1 * Pr * (1 – P)x – r
waar x=aantal proeven
r = Mislukkingen

Gemiddelde:
μ = r / P
waarbij r het aantal proeven is
P=kans op succes voor elke proef

Oplossen van negatieve binomiale experimenteerproblemen

De pmf voor de negatieve binomiale verdeling is:

Waar:
r is het aantal successen en
p = de kans op succes.

Voorbeeldvraag: U houdt een enquête onder mensen die uit een stemhokje komen en vraagt hen of ze onafhankelijk hebben gestemd. De kans (p) dat een persoon onafhankelijk heeft gestemd is 20%. Hoe groot is de kans dat u 15 mensen moet ondervragen voordat u 5 mensen kunt vinden die onafhankelijk hebben gestemd?

Step 1: Vind p, r en X.
We krijgen (in de vraag) dat p = 20%(.2) en r = 5. Het aantal mislukkingen, X, is 15 – 5 = 10.

Stap 2: Voeg deze waarden uit stap 1 in de formule:

Stap 3: Los op. Het eerste deel (14 over 4) is een combinatie (gebruik onze combinatiecalculator om 14 kies 4 te vinden).
1001*.25*.810 = 0.034.

De kans dat je 15 mensen moet vragen om 5 stemmen voor onafhankelijk te krijgen is .034, of 3.4%.

De meetkundige verdeling is een speciaal geval van de negatieve binomiale verdeling.

——————————————————————————

Heb je hulp nodig bij een huiswerk- of toetsvraag? Met Chegg Study kunt u stap-voor-stap oplossingen voor uw vragen krijgen van een expert op dit gebied. Uw eerste 30 minuten met een Chegg-leraar zijn gratis!