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Porque é que a Raiz Quadrada de 2 é Irracional

A Raiz Quadrada de 2

É a raiz quadrada de 2 uma fracção?

Deixe-nos assumir que é, e ver o que acontece.

Se for uma fracção, então devemos ser capazes de a escrever como uma fracção simplificada como esta:

m/n

(m e n são ambos números inteiros)

E esperamos que quando a quadrarmos obtenhamos 2:

(m/n)2 = 2

que é o mesmo que

m2/n2 = 2

ou, dito de outra forma, m2 é duas vezes maior que n2:

m2 = 2 × n2

Tente-se

Veja se consegue encontrar um valor para m e n que funcione!

Exemplo: tentemos m=17 e n=12:

m/n = 17/12

Quando estabelecermos o quadrado que obtemos

172/122 = 289/144 = 2.0069444…

Quem está perto de 2, mas não é bem assim

Vemos que queremos realmente que m2 seja duas vezes n2 (289 é cerca de duas vezes 144). Pode fazer melhor?

Even e Odd

Agora, vamos retomar esta ideia de que m2 = 2 × n2

Na verdade, significa que m2 deve ser um número par.

Porquê? Porque sempre que nos multiplicamos por um número par (2 neste caso), o resultado é um número par. Assim:

Operação Resultado Exemplo
>/th>
Even × Even Even 2 × 8 = 16
Even × Odd Even 2 × 7 = 14
Odd × Even Even 5 × 8 = 40
Odd × Odd Odd 5 × 7 = 35

E se m2 for uniforme, então m deve ser uniforme (se m era ímpar então m2 também é ímpar). So:

m é par

E todos os números pares são um múltiplo de 2, então m é um múltiplo de 2, então m2 é um múltiplo de 4,

E se m2 é um múltiplo de 4, então n2 deve ser um múltiplo de 2 (lembrando que m2/n2 = 2).

E assim …

n também é igual

Mas aguenta … se tanto m como n são iguais, devemos ser capazes de simplificar a fracção m/n.

Exemplo: 2/12 pode ser simplificado a 1/6

Mas já dissemos que foi simplificado …

around and around

… e se ainda não está simplificado, então vamos simplificá-lo agora e começar de novo. Mas o resultado continua a ser o mesmo: tanto n como m são iguais.

Bem, isto é uma parvoíce – podemos mostrar que tanto n como m são sempre iguais, não importa que já tenhamos simplificado a fracção.

Então algo está terrivelmente errado … deve ser a nossa primeira suposição de que a raiz quadrada de 2 é uma fracção. Não pode ser.

E assim a raiz quadrada de 2 não pode ser escrita como uma fracção.

Irracional

Chamamos tais números de “irracionais”, não porque sejam loucos mas porque não podem ser escritos como uma razão (ou fracção). E dizemos:

“A raiz quadrada de 2 é irracional”

Pensa-se que seja o primeiro número irracional alguma vez descoberto. Mas há muito mais.

Reductio ad absurdum

Por falar nisso, o método que utilizámos para o provar (primeiro fazendo uma suposição e depois vendo se funciona bem) é chamado “prova por contradição” ou “reductio ad absurdum”.

Redução ad absurdum: um tipo de argumento lógico em que se assume uma alegação em nome da argumentação e se obtém um resultado absurdo ou ridículo, e depois conclui-se que a alegação original deve ter sido errada, uma vez que levou a um resultado absurdo. (da Wikipedia)

História

Muitos anos atrás (cerca de 500 AC), matemáticos gregos como Pitágoras acreditavam que todos os números podiam ser mostrados como fracções.

E eles pensavam que a linha numérica era composta inteiramente de fracções, porque para quaisquer duas fracções podemos sempre encontrar uma fracção entre elas (para que possamos olhar cada vez mais de perto para a linha numérica e encontrar mais e mais fracções).

Exemplo: entre 1/4 e 1/2 é 1/3. Entre 1/3 e 1/2 é 2/5, entre 1/3 e 2/5 é 3/8, e assim por diante.

(Nota: A maneira fácil de encontrar uma fracção entre duas outras fracções é adicionar as partes superiores e adicionar as partes inferiores, assim entre 3/8 e 2/5 é (3+2)/(8+5) = 5/13).

Então, porque este processo não tem fim, existem infinitamente muitos desses pontos. E isso parece preencher a linha do número, não é?

E eles ficaram muito contentes com isso … até descobrirem que a raiz quadrada de 2 não era uma fracção, e tiveram de repensar completamente as suas ideias!

Conclusão

A raiz quadrada de 2 é “irracional” (não pode ser escrita como uma fracção) … porque se pudesse ser escrita como uma fracção então teríamos o caso absurdo de a fracção ter números pares tanto em cima como em baixo e assim poderia ser sempre simplificada.

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