Was ist Pi, und wie ist es entstanden?
Kurz gesagt ist Pi – der griechische Buchstabe für p oder π – das Verhältnis des Umfangs eines beliebigen Kreises zum Durchmesser dieses Kreises. Unabhängig von der Größe des Kreises wird dieses Verhältnis immer gleich pi sein. In dezimaler Form beträgt der Wert von pi ungefähr 3,14. Aber pi ist eine irrationale Zahl, was bedeutet, dass seine Dezimalform weder endet (wie 1/4 = 0,25) noch sich wiederholt (wie 1/6 = 0,166666…). (Mit nur 18 Nachkommastellen ist pi 3,141592653589793238.) Daher ist es nützlich, eine Kurzschrift für dieses Verhältnis von Umfang zu Durchmesser zu haben. Laut Petr Beckmanns A History of Pi wurde der griechische Buchstabe π erstmals 1706 von William Jones für diesen Zweck verwendet, wahrscheinlich als Abkürzung für Umfang, und wurde etwa 30 Jahre später zur Standardnotation in der Mathematik.
Machen Sie ein kleines Experiment: Zeichnen Sie mit einem Zirkel einen Kreis. Nehmen Sie ein Stück Schnur und legen Sie es auf den Kreis, genau einmal herum. Richten Sie nun die Schnur aus; ihre Länge nennt man den Umfang des Kreises. Messen Sie den Umfang mit einem Lineal. Als Nächstes messen Sie den Durchmesser des Kreises, das ist die Länge von einem beliebigen Punkt auf dem Kreis gerade durch seinen Mittelpunkt zu einem anderen Punkt auf der gegenüberliegenden Seite. (Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius, also die Länge von einem beliebigen Punkt des Kreises zu seinem Mittelpunkt.) Wenn Sie den Umfang des Kreises durch den Durchmesser teilen, erhalten Sie ungefähr 3,14 – egal, wie groß der Kreis ist, den Sie gezeichnet haben! Ein größerer Kreis wird einen größeren Umfang und einen größeren Radius haben, aber das Verhältnis wird immer gleich sein. Wenn Sie perfekt messen und teilen könnten, bekämen Sie 3,141592653589793238…, oder Pi.
Wenn Sie also mehrere Stücke Schnur in der Länge des Durchmessers abschneiden, brauchen Sie etwas mehr als drei davon, um den Umfang des Kreises abzudecken.
Pi wird am häufigsten in bestimmten Berechnungen in Bezug auf Kreise verwendet. Pi setzt nicht nur Umfang und Durchmesser in Beziehung. Erstaunlicherweise verbindet es auch den Durchmesser oder Radius eines Kreises mit der Fläche dieses Kreises durch die Formel: die Fläche ist gleich Pi mal dem Radius zum Quadrat. Außerdem taucht pi in vielen mathematischen Situationen unerwartet auf. Zum Beispiel die Summe der unendlichen Reihe
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + … + 1/n2 + … ist π2/6
Die Bedeutung von Pi ist schon seit mindestens 4.000 Jahren bekannt. A History of Pi stellt fest, dass um 2000 v. Chr. „die Babylonier und die Ägypter (zumindest) die Existenz und Bedeutung der Konstante π kannten“ und erkannten, dass jeder Kreis das gleiche Verhältnis von Umfang zu Durchmesser hat. Sowohl die Babylonier als auch die Ägypter hatten grobe numerische Annäherungen an den Wert von pi, und spätere Mathematiker im antiken Griechenland, insbesondere Archimedes, verbesserten diese Annäherungen. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts waren etwa 500 Ziffern von pi bekannt. Jahrhunderts waren etwa 500 Stellen von Pi bekannt. Dank des Fortschritts bei der Berechnung mit Computern kennen wir heute mehr als die ersten sechs Milliarden Stellen von Pi.